5. Ідеальний газ розширюється від об’єму до так, що тиск змінюється за законом . Знайдіть:

1) Значення величини , при якому температура максимальна; 2) значення ; 3) роботу, що виконав газ у відносних одиницях ( ).

Побудуйте графіки процесу у координатах:

4) ; 5) .

Коментар. 1) За умовою газ є ідеальним, тоді для нього виконується закон Клапейрона-Менделєєва: . Враховуючи даний в умові закон зміни тиску , отримаємо, що . Звідси маємо залежність , яка є квадратичною функцією. Одним із способів знаходження максимуму даної функції є прирівнювання похідної до нуля. Маємо: . Отже, максимальне значення температура набуває, коли , або .

А можна скористатися тим, що нулі отриманої квадратичної функції – і . Відповідно, максимальне значення функція набуватиме при , тобто .

2) Використовуючи результат, отриманий у попередньому пункті, отримаємо значення :

.

Тоді шукана величина .

3) Робота, яку виконав газ в описаному процесі, визначається формулою . Розкриваючи дужки і розбиваючи отриманий інтеграл на два, отримаємо: . Перший інтеграл обчислюється дуже просто: . Другий інтеграл теж відноситься до розряду табличних: . Підставляючи отримані значення у вихідну формулу, отримаємо наступний результат: . Тоді робота, що виконав газ (у відносних одиницях), дорівнює .

Враховуючи, що – лінійна функція, можна було обійтися без інтегралів. За геометричним змістом робота – площа під графіком , тобто площа трапеції з висотою і середньою лінією:

.

Отже,

4 ) Залежність є лінійною, отже графіком залежності буде пряма, рівняння якої . Знайдемо дві точки, що належать даній прямій. За умови або (початкове значення об’єму) маємо . За умови або (кінцеве значення об’єму) маємо . Пряма, що з’єднує ці дві точки і є графіком процесу в координатах (див. рис. 16).

5) З першого пункту даного завдання отримаємо, що . Тоді . Залежність є квадратичною, отже її графіком буде парабола (див. рис. 17).

М аксимальне значення (як ми вже визначили у другому пункті) досягається при і дорівнює . За умови маємо: ; при маємо: . Парабола, яка зображена на рисунку, і є графіком процесу в координатах .

6. Заповніть пропуски у твердженнях, що наведені після рисунків:

1	2		3
4	5		6
7		8
9		1 0

1) Залежність при деяких ненульових значеннях параметрів графічно подана на рис. ____. 2) Початкова координата ___0. 3) Початкова швидкість ___0. 4) Прискорення ___0. 5) Враховуючи, що , маємо =_________. 6) Графік поданий на рис. ____.

7) Максимальне значення досягається при ______.

8) Максимальне значення ____________. 9) При ___________________, координата . 10) Дотична до графіка в точці (0;  ) задається формулою _________.

Коментар. 1. Залежність є квадратичною, тому її графіком є квадратична парабола, яка при деяких ненульових значеннях параметрів представлена на рис. 3.

2. Початкова координата , як видно з рис. 3.

3. На початку руху координата зростає (див. рис. 3). Це означає, що проекція початкової швидкості на вісь додатна ( ).

4. Гілки квадратичної параболи спрямовані вниз. Це означає, що коефіцієнт перед від’ємний, тобто .

5. Проекція швидкості на вісь дорівнює похідній координати за часом: .

6. Функція є лінійною. Отже, її графіком буде пряма. Враховуючи, що , обираємо рис. 10.

7. Максимальне значення досягається тоді, коли . Дійсно, при координата буде зростати, а при буде спадати. Таким чином, знаходиться з рівняння . Звідки .

8. Максимальне значення координати можна знайти, підставивши вираз для у вихідну формулу для . Але існують й інші можливості. Наприклад, оскільки координата зростала у той час, коли проекція швидкості зменшувалася за лінійним законом від до нуля, . Враховуючи значення і , отримуємо: . Нагадаємо, що , тому, як і треба було очікувати, .

9. Щоб знайти , треба розв’язати квадратичне рівняння і з отриманих коренів взяти додатний.

.

Знак перед радикалом (позначкою квадратного кореня) обраний з урахуванням того, що .

10. Дотична до графіка в точці (0;  ) є графіком рівномірного руху з початковою координатою та швидкістю, що співпадає з початковою швидкістю розглядуваного рівноприскореного руху. Нагадаємо, що фізичний зміст похідної від функції полягає у тому, що вона є швидкістю зростання функції, а її геометричний зміст — у тому, що вона є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції. Таким чином, .