2. Координата матеріальної точки масою змінюється за законом:

.

а) Як залежить від часу швидкість матеріальної точки?

б) Як залежить від часу прискорення матеріальної точки?

в) Як залежить від координати сила , що діє на матеріальну точку?

г) Яка початкова координата матеріальної точки ?

д) Яка початкова швидкість матеріальної точки ?

а)  .

Іноді абітурієнти запитують: “Тут косинус добутку і , чи добуток і косинуса ?” Таке питання свідчить про те, що його автори не розуміють фізичного змісту формули і намагаються формально виконати вправу. Зрозумівши, що  — коефіцієнт жорсткості пружини,  — маса тягарця, а  — час, вже легко встановити (навіть, якщо не пам’ятати, що  — циклічна частота коливань пружинного маятника), що  — розмірна величина. А ось  — безрозмірна. Для косинуса аргументом може бути тільки величина, яка не має розмірності.

б)  .

в)  .

Але нам потрібно з’ясувати, як залежить від . Для цього з вихідного виразу для знайдемо, що . Таким чином, .

г) Початкова координата .

д) Початкова швидкість .

На запитання цієї вправи можна було відповісти дуже швидко, збагнувши, що вихідна формула описує коливання тягарця на пружині у полі тяжіння, причому в початковий момент пружина була не розтягнутою, а тягарець нерухомим.

3. При яких значеннях аргументу функція набуває максимальної величини? (Вважайте параметри додатними).

а)  , ;

б)  , ;

в)  , ;

г)  , ;

д)  , .

а) Скориставшись формулою з тригонометрії , отримуємо . Тепер легко уявити собі графік функції (див. рис. 11).

З урахуванням вимоги для значень , при яких функція набуває максимальної величини, отримуємо: , Можна записати і так: , .

Зрозуміло, що досліджувана функція давала залежність від часу потужності джоулева тепла, що виділяється на резисторі з опором при проходженні змінного струму, якщо .

б ) Ця формула ( , ) показує, як змінюється заряд на конденсаторі ємності при його розрядженні через резистор з опором . Тому максимальне значення буде при . Якщо навіть не знати фізичного змісту цієї формули, то легко уявити собі графік функції (див. рис. 12).

в) З урахуванням того, що , можна уявити собі графік функції , (див. рис. 13).

Оскільки , відповідь може бути записана так: , .

г) Ця формула ( , ) описує траєкторію тіла, кинутого з початковою швидкістю під кутом до горизонту з точки з координатами . Її легко отримати з очевидної системи рівнянь:

Графік  — це квадратична парабола, гілки якої спрямовані вниз (рис. 14).

Можна знайти шукане значення , при якому набуває максимальної величини, прирівнюючи до нуля похідну : . Тут ми скористалися тригонометричною формулою . Можна було знайти “дальність польоту” , прирівнюючи до нуля і відкидаючи корінь . А потім, скориставшись симетрією квадратичної параболи, остаточно отримати .

Н аведемо ще один варіант виконання вправи (фізичний!). Час підйому тіла визначається як час, за який вертикальна складова швидкості зменшиться від до нуля. Зрозуміло, що такий час дорівнює . У горизонтальному напрямку тіло рухається зі сталою швидкістю . Отже, .

д) Ця формула ( , ) дає залежність потужності джоулева тепла, що виділяється на резисторі, від його опору . Джерело електричного струму характеризується значенням електрорушійної сили і внутрішнім опором . Якщо , то . Тобто при малих значеннях потужність зростає майже пропорційно . При апроксимуючою (наближеною) функцією є , тобто потужність спадає обернено пропорційно при великих значеннях . Таким чином, можна очікувати максимум функції при деякому додатному значенні . Графік досліджуваної функції повинен мати вигляд такий, як на рис. 15.

З вичайно, можна знайти , при якому набуває максимального значення, прирівнявши до нуля похідну . Але можна піти іншим шляхом. Зрозуміло, що має максимум при тому самому значенні , при якому має мінімум функція . А вона, у свою чергу, має мінімум при тому самому , що і функція . Тут треба згадати знайому з уроків математики нерівність, яка виконується для додатних значень : , причому рівність досягається при . Ця нерівність легко доводиться, виходячи з нерівності . У застосуванні до нашого випадку маємо , тобто . Максимальна потужність джоулева тепла буде виділятися на резисторі, якщо його опір буде дорівнювати внутрішньому опору джерела струму.

Існує інший шлях знайдення , що не використовує поняття похідної. Для цього спочатку треба знайти силу струму, при якій потужність джоулева тепла, що виділяється у резисторі, буде максимальною. Зрозуміло, що сила струму за законом Ома: . Переходячи до нової змінної ( замість ), отримуємо: Легко бачити, що – квадратична функція, нулі якої і , а графік – квадратична парабола, гілки якої спрямовані вниз. Максимум буде досягатися при . А для того, щоб сила струму мала таке значення, опір резистора повинен дорівнювати внутрішньому опору джерела струму.