§3. Приклади завдань, які пропонувалися на олімпіадах для абітурієнтів

Наведемо приклади завдань, що використовувалися на олімпіадах для абітурієнтів фізичного факультету Запорізького державного університету.

1. Розв’яжіть систему рівнянь і виразіть шукану величину через ті, що стоять у дужках:

а) 

Таку систему потрібно навчитися розв’язувати усно, без олівця та паперу. Вона дає можливість відновити в пам’яті вираз для моменту інерції суцільної кулі, маса якої , а радіус . Момент інерції тіла — важливе поняття динаміки обертального руху. Наприклад, кінетична енергія тіла, яке обертається навколо осі з кутовою швидкістю , обчислюється за формулою . Зміст перших двох рівнянь очевидний, а останні два можуть вимагати деяких пояснень. Третє рівняння дає можливість обчислити момент інерції суцільної кулі відносно її центру: , де  — відстань від центру кулі до диференціально малої її частинки масою , а інтегрування ведеться за всім об’ємом кулі. Сам момент інерції відносно точки не має фізичного змісту. До фізичних формул входить момент інерції тіла відносно осі. Він визначається як , але під тут розуміють відстань до осі, а не до точки. Легко довести теорему, що , де , ,  — моменти інерції тіла відносно трьох взаємно перпендикулярних осей, котрі проходять через точку, відносно якої момент інерції дорівнює . У нашому випадку , де  — момент інерції відносно будь-якої осі, яка проходить через центр кулі. Звідси і взялося четверте рівняння в розглядуваній системі. Теорема, про яку ми згадали, допомагає у багатьох випадках скоротити обчислення.

Формально для розв’язування запропонованої системи не потрібно знати, звідки взялися рівняння, але ці знання надають осмисленості діяльності з виконання завдання. Крім того, може виникнути бажання самостійно довести згадану нами теорему, або зрозуміти, як інтеграл у конкретному випадку перетворився в той, що записаний у третьому рівнянні системи. Сам же процес розв’язування системи дуже простий. Обчислення інтегралу з третього рівняння дає , а після замін з використанням перших двох рівнянь . З урахуванням четвертого рівняння системи остаточно отримуємо вираз для моменту інерції суцільної кулі відносно осі, яка проходить через її центр: .

б) 

Якщо звернути увагу на те, що , то відповідь можна записати відразу: . На жаль, як показує досвід, далеко не всі абітурієнти звертають увагу на подібні речі. У результаті — вправа залишається не виконаною, або відповідь наводиться у вигляді: . Хоча формально така відповідь правильна, але вона свідчить не на користь абітурієнта.

в) 

Легко отримати залежність сили від часу . Для цього треба знайти другу похідну від за часом, а потім помножити її на :

;

;

.

А ось отримання виразу для сили через швидкість викликає у помітної частини абітурієнтів не дуже зрозумілі труднощі. Хоча залишається тільки замінити на . Отже, .

г) 

Це система рівнянь для знаходження сили натягу нитки довжиною , на якій висить маленьке тіло масою , після надання цьому тілу горизонтальної швидкості. Вважається відомим, що максимальний кут відхилення нитки від вертикального положення становив . Перше рівняння відбиває закон збереження механічної енергії: початкова кінетична енергія тіла повністю переходить в потенціальну енергію при максимальному куті відхилення нитки. Друге рівняння показує, як геометрично пов’язана висота підйому тіла з кутом відхилення нитки через її довжину . Останнє рівняння — запис другого закону Ньютона для початкового моменту, коли нитка вертикальна, а швидкість тіла спрямована горизонтально. Доцентрове прискорення і сила натягу спрямовані вгору, а сила тяжіння  — вниз. Підстановка з другого рівняння в перше дає змогу отримати вираз для , який і треба підставити в останнє рівняння системи. Звідки остаточно маємо: .

д) 

Це дуже проста вправа. Але бувають випадки, коли і з нею не можуть упоратися абітурієнти.

Перше рівняння в системі — це так зване основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії, яке дозволяє виразити макропараметр (тиск ідеального газу) через мікропараметри: концентрацію молекул , масу однієї молекули та середньоквадратичну швидкість молекул . А друге рівняння в системі — це вираз для через абсолютну (термодинамічну) температуру і масу молекули. Буквою позначена стала Больцмана. Використовуючи вираз для з другого рівняння, отримаємо , звідки .