Ваша оценка (баллов):   

Сообщить об ошибке    Обсудить ВКонтакте    Обратиться за помощью

Задание С2 № 484573

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно  , высота равна  . Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер АС и ADсоответственно.

Решение.

Пусть Р — середина ребра BD, Q — середина ребра ВС. По теореме о средней линии треугольника  , следовательно, точки М, Т, Р, Q лежат в одной плоскости. 

, следовательно, точки М, Т, Р, Q являются вершинами параллелограмма. Кроме того,  , а по теореме о трёх перпендикулярах   (так как  ), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник. Значит, искомое расстояние есть длина отрезка РТ. По теореме Пифагора 

;

тогда 

, а  .

Ответ: 3.

Ваша оценка (баллов):   

Сообщить об ошибке    Обсудить ВКонтакте    Обратиться за помощью

Задание С3 № 484597

Решите систему неравенств 

Решение.

Область допустимых значений неравенства задается соотношением 

.

На области допустимых значений справедливы равносильности: 

,  .

Поэтому на ОДЗ имеем: 

.

Заметим, что 

.

Поэтому 

.

Окончательно имеем: 

Ответ:  .

Ваша оценка (баллов):    

Сообщить об ошибке    Обсудить ВКонтакте    Обратиться за помощью

Задание С4 № 484625

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен  .

Решение.

Обозначим данный треугольник ABC,  ,  , — гипотенуза,  ,  . Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник ABC. Пусть О — её центр, а D и Е — точки касания с катетами АС и ВС соответственно. Тогда, так как ODCE — квадрат, радиус этой окружности 

.

Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а АС в точке N (рис. 1). Прямоугольный треугольник ANM подобен треугольнику ABC. В нём  ,  ,  .  У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: 

,  ,

откуда находим:  . 

Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а ВС в точке N (рис. 2). Прямоугольный треугольник NBM подобен треугольнику ABC. В нём  ,  ,  . У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: 

,  ,

откуда находим:  . 

Ответ: 8 или 9. 

Ваша оценка (баллов):    

Сообщить об ошибке    Обсудить ВКонтакте    Обратиться за помощью

Задание С5 № 500370

Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение 

на промежутке   имеет более двух корней.

Решение.

Рассмотрим функции   и  . Исследуем уравнение   на промежутке  .  При   все значения функции   на промежутке   отрицательны, а все значения функции   — неотрицательны, поэтому при   уравнение   не имеет решений на промежутке  .  При   функция   возрастает. Функция   убывает на промежутке  , поэтому уравнение   имеет не более одного решения на промежутке  , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда,  , откуда получаем  , то есть  .  На промежутке   уравнение   принимает вид  . Это уравнение сводится к уравнению  . Будем считать, что  , поскольку случай   был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения  , поэтому при   это уравнение не имеет корней; при   уравнение имеет единственный корень, равный 2; при   уравнение имеет два корня.  Если уравнение имеет два корня   и  , то есть  , то больший корень  , поэтому он принадлежит промежутку  . Меньший корень   принадлежит промежутку   тогда и только тогда, когда 

 то есть 

Таким образом, уравнение   имеет следующее количество корней на промежутке  :  - нет корней при  ;  - один корень при   и  ;  - два корня при   и  ;  - три корня при  .  Ответ:  .

Ваша оценка (баллов):