Задача №4-5.

Решить задачу линейного программирования двумя способами (графическим и симплекс-методом).

Для изготовления двух видов продукции используется три вида сырья. При производстве единицы продукции первого вида затрачивается А1 кг сырья первого вида, А2 кг сырья второго вида и А3 кг сырья третьего вида. При производстве единицы продукции второго вида затрачивается Б1 кг сырья первого вида, Б2 кг сырья второго вида и Б3 кг сырья третьего вида. Запасы сырья первого вида составляют Запасы1 кг, второго – Запасы2 кг, третьего – Запасы3 кг. Прибыль от реализации единицы продукции первого вида составляет С1 ден. ед., прибыль от реализации единицы продукции второго вида составляет С2 ден. ед.

Определить оптимальный план выпуска продукции(количество выпускаемой продукции округлить до целого числа), чтобы прибыль от реализации была максимальной.

А₁=9, А₂=6, А₃=5, В₁=3, В₂=12, В₃=8,

Запасы1=230, Запасы2=210, Запасы3=250, C₁=18, C₂=20.

Графический способ решения

Пусть количество выпускаемой первой продукции – x₁, а количество второй – x₂, тогда прибыль от продажи всей продукции:

F=18x₁ + 20x₂ → max

при условиях:

9x₁ + 3x₂ ≤ 230;

6x₁ + 12x₂ ≤ 210;

5x₁ + 8x₂ ≤ 250;

x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0.

Неравенства заменяем на равенства, x₂ заменяем на y. Строим линии ограничений.

1) 9x + 3y₁ = 230

y₁ = 76,7 - 3x

x	y1
0	76,7
25,6	0

2) 6x + 12y₂ = 210

y₂ = 17,5 - 0,5x

x	y2
0	17,5
35	0

3) 5x + 8y₃ = 250

y₃ = 31,25 - 0,625x

x	y3
0	31,25
50	0

4) x = 0

y = 0

Область допустимых значений - выпуклый многоугольник OACD.

Строится направляющий вектор C.

Строится перпендикуляр к вектору С через начало координат.

Точка С является точкой оптимума. Находим координаты точки оптимума. Приравниваем уравнения 1 и 2.

76,7 - 3x = 17,5 - 0,5x

x = 23,68

подставляем x в уравнение:

y = 76,7 - 3x

y = 5,66

Координаты точки С (23,68; 5,66).

Находим значение целевой функции точки оптимума.

F(C) = 18*23,68 + 20*5,66 = 426,24 + 113,2 = 539,44

Округлённые результаты (округление в меньшую сторону):

F(C) = 18*23 + 20*5 = 514

Ответ: необходимо выпускать 23 единицы первого вида продукции, 5 единиц второго вида продукции, при этом прибыль будет максимальной, и будет равна 514 денежных единиц.

Решение симплекс-методом

Ресурсы	Пункты назначения		Запасы
	1	2
А1	9	3	230
А2	6	12	210
А3	5	8	250
Прибыль	18	20	—

Пусть количество выпускаемой первой продукции - x₁, а количество второй - x₂, тогда прибыль от продажи всей продукции

F=18x₁ + 20x₂ → max

при условиях:

9x₁ + 3x₂ ≤ 230;

6x₁ + 12x₂ ≤ 210;

5x₁ + 8x₂ ≤ 250;

x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0.

Неравенства заменяем на равенства, вводим искусственные переменные.

9x₁ + 3x₂ + x₃= 230

6x₁ + 12x₂ + x₄= 210

5x₁ + 8x₂ + x₅= 250

Строится исходная симплекс-таблица.

Базисные решения	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5
x3	230	9	3	1	0	0
x4	210	6	12	0	1	0
x5	250	5	8	0	0	1
Оценки коэффициентов целевой функции	—	18	20	0	0	0

Первая итерация.

Ищем генеральный столбец:

max (18, 20) = 20 => второй столбец генеральный.

Ищем генеральную строку:

min = = 17,5 => вторая строка генеральная.

Генеральный элемент находится на пересечении второго столбца и второй строки = 12 => заменим x₄ на x₂.

Все элементы генеральной строки(включая свободные члены) делятся на генеральный элемент.

Базисные решения	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5
x2	17,5
x3	177,5	7,5	0	1	-0,25	0
x5	110	1	0	0		1
Оценки коэффициентов целевой функции	350	8	0	0		0

Преобразование строки x3: 230 – 17,5*3 = 177,5 9 – *3 = 7,5 3 – 1*3 = 1 1 – 0*3 = 1 0 – *3 = = –0,25 0 – 0*3 = 0

Преобразование строки x5: 250 – 17,5*8 = 110 5 – *8 = 1 8 – 1*8 = 0 0 – 0*8 = 0 0 – *8 = 1 – 0*8 = 1

Преобразование строки "Оценки коэффициентов целевой функции":

18 – *20 = 8

20 – 1*20 = 0

0 – 0*20 = 0

0 – *20 =

0 – 0*20 = 0

F = 18*0 + 20*17,5 = 350

Базисное решение неоптимально, т.к. имеется положительное значение в строке "Оценки коэффициентов целевой функции".

Вторая итерация.

Ищем генеральный столбец:

max (8, ) = 8 => первый столбец генеральный.

Ищем генеральную строку:

min = = 23,67 => вторая строка генеральная.

Генеральный элемент находится на пересечении первого столбца и второй строки = 7,5 => заменим x₃ на x₁.

Все элементы генеральной строки(включая свободные члены) делятся на генеральный элемент.

Базисные решения	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5
x1
x2	5,665	0	1		– 0,1	0
x5	86,33	0	0		– 0,7	1
Оценки коэффициентов целевой функции	539,36	0	0		– 1,6	0

Преобразование строки x2: 17,5 – 23,67*0,5 = 5,665 0,5 – 1*0,5 = 0 1 – 0*0,5 = 1 0 *0,5 = + *0,5 = + = = = 0,1 0 – 0*0,5 = 0

Преобразование строки x5: 110 – 23,67*1 = 86,33 1 – 1*1= 0 0 – 0*1 = 0 0 *1 = *1 = = = = –0,7 1 – 0*1 = 1

Преобразование строки "Оценки коэффициентов целевой функции":

8 – 1*8 = 0

0 – 0*8 = 0

0 *8 = =

*8 = = = –1,6

0 – 0*8 = 0

F = 23,67*18+5,665*20 = 426,06 + 113,3 = 539,36

Округлённые результаты (округление в меньшую сторону):

F(C) = 23*18 + 5*20 = 514

Ответ: необходимо выпускать 23 единицы первой продукции, 5 единиц второй продукции, при этом прибыль будет максимальной, и будет равна 514 денежных единиц.