Раздел 5. Элементы комбинаторики Теоретические сведения

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются различные соединения (комбинации) элементов множеств. Наиболее существенную роль комбинаторика играет в тех областях математических знаний, где особенно часто встречаются «дискретные» совокупности объектов, в том числе в математической логике, теории графов, теории кодирования и пр.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух следующих правил.

Правило умножения: если объект можно выбрать способами, а объект может быть выбран способами, то выбрать пару « и » в указанном порядке можно способами.

Правило сложения: если объект можно выбрать способами, а объект - другими способами при условии, что одновременный выбор и невозможен, то выбор « или » можно осуществить способами.

Пример. Если в теннисной команде 5 мужчин и 3 женщины, то составить смешанную пару можно способами, а выбрать одного спортсмена для участия в соревнованиях можно способами.

При составлении различных комбинаций возможны две схемы выбора элементов из заданного множества:

- без повторений (выбранные элементы не возвращаются в исходное множество);

- с повторениями (на каждом шаге элемент возвращается обратно).

Рассмотрим множество, содержащее различных элементов.

Размещением из элементов по элементам называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее элементов.

Перестановкой из элементов называется размещение из элементов по элементам.

Сочетанием из элементов по элементам называется любое подмножество данного множества, содержащее элементов.

Формулы для нахождения числа данных комбинаций можно свести в следующую таблицу.

Вид комбинации	Наличие повторений
	без повторений		с повторениями
Размещения (порядок важен)
Перестановки (порядок важен)		перестановки вокруг	,
Сочетания (порядок не важен)

Отметим, что величина называется также биномиальным коэффициентом, а величина - полиномиальным коэффициентом.

Пример. Рассмотрим множество из трех элементов .

Составим всевозможные комбинации из двух элементов данного множества. Получим:

девять размещений с повторениями - ;

шесть размещений без повторений - ;

шесть сочетаний с повторениями - ;

три сочетания без повторений - .

Задачи для активного обучения

Задача 5.1. Сколько нечетных целых чисел находятся между числами 100 и 1000?

Решение. Используем комбинаторный принцип умножения: существует 5 вариантов выбора последней цифры числа (т. к. она должна быть нечетной); 10 вариантов выбора средней цифры и 9 вариантов выбора первой цифры. Таким образом, имеем нечетных чисел.

Задача 5.2. Сколькими способами можно выбрать две книги по разным темам, когда на полке находятся 15 книг по информатике, 12 книг по математике и 10 книг по химии?

Решение. Если выбирать книгу по информатике и книгу по математике, то существует возможностей. Если выбирать книги по информатике и по химии, то имеется способов. Для выбора книги по математике и книги по химии существует возможностей. Следовательно, - число возможных способов выбора двух книг по разным темам.

Задача 5.3. Предположим, что команды и участвуют в ежегодном турнире по волейболу, для победы в котором командам необходимо выиграть четыре игры из семи возможных. Если команда выигрывает первые две игры, то сколько вариантов победы есть у команды и сколько у команды ?

Решение. Для того, чтобы представить возможные исходы построим дерево подсчета (см. рис. 5.1). Буква в каждой вершине обозначает команду, победившую в игре. Обведенная кружком буква обозначает команду, победившую в турнире.

Рис. 5.1

По рисунку видно, что имеется десять исходов с победой команды и пять возможных исходов с победой команды .

Задача 5.4. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть им поставлены оценки, если никому не поставлена двойка?

Решение. Расстановка оценок в экзаменационной ведомости учитывает порядок следования фамилий студентов, поэтому используем размещения с повторениями (некоторые студенты могут получить одинаковые оценки): (оценки – удовл., хор., отл.), (студенты), .

Задача 5.5. В профком университета избрали 9 человек. Сколькими способами из них можно выбрать председателя профкома и его заместителя?

Решение. В данном случае используем размещения без повторений: (члены профкома), (должности), (способа выбрать руководство профкома).

Задача 5.6. Сколькими способами можно рассадить 7 человек за круглым столом, если имеет значение только порядок соседей?

Решение. Сначала можно усадить одного человека. Этим исключается вращение, а оставшихся 6 человек можно рассадить способами.

Задача 5.7. В вазе стоят 9 красных и 7 белых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из них:

а) 5 гвоздик одного цвета; б) 4 красных и 3 белых гвоздики?

Решение. Порядок, в котором будут выбираться цветы, в данном случае не важен, поэтому будем использовать сочетания (без повторений, т.к. один и тот же цветок нельзя взять дважды).

а) выбрать красные гвоздики можно способами, для выбора белых гвоздик существует возможностей, по правилу сложения получим

;

б) выбрать красные гвоздики можно способами и белые гвоздики - способами, по правилу умножения получим

.

Задача 5.8. Из 200 опрошенных людей, смотрящих телевизор, 110 человек смотрят спортивные передачи, 120 –комедии, 85 предпочитают драмы, 50 человек смотрят драмы и спорт, 70 –комедии и спорт, 55 смотрят комедии и драмы, 30 человек смотрят все виды передач. Сколько человек не смотрят ничего из вышеперечисленного?

Р ешение. Изобразим данную ситуацию с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Тогда

(количество человек, которые смотрят спорт, комедии и драмы),

( количество человек, которые не смотрят по телевизору ни спорт, ни драмы, ни комедии).