Задачи для активного обучения

З адача 4.1. Определить степени выхода и входа всех вершин орграфа на рис. 4.10 . Найти источник и сток.

Решение.

Таким образом,

- источник, - сток.

Задача 4.2. На рис. 4.11. рассмотрено бинарное дерево (наибольшая степень выхода для вершин дерева равна 2) Определить уровень вершины и . Найти высоту дерева. Определить потомков и предков (родителей, сыновей).

Решение. Уровень вершины равен 2, уровень вершины равен 3. Высота дерева – 3, поскольку длина пути равна 3 и не существует более длинного пути от корня к листу.

Вершина является родителем для и . Вершины и - братья. Таковыми же являются вершины и , и , и .

Вершина - предок вершин . Вершины - потомки вершины . Вершина - левый сын вершины , - правый сын вершины .

З адача 4.3. Составить матрицу инцидентности и матрицу смежности для указанного графа (рис. 4.12).

Решение.

Матрица инцидентности и матрица смежности имеют вид:

Задачи для самостоятельного решения

1. Что из приведенного ниже является путем в графе на рис. 4.13? Какие из них являются простыми? Найти длину каждого из путей.

а) , б) , в) , г) .

2. Что из приведенного ниже является циклом в графе на рис. 4.14? Которые из них простые циклы? Для каждого n-цикла определить значение n.

а) , б) , в) , г) .

3. Найти вершины и ориентированные ребра для приведенных ниже орграфов. Для каждой вершины определить степень входа и степень выхода. Имеются ли здесь источники и стоки?

4. Какие из приведенных ниже графов (рис. 4.16) являются деревьями?

5. Для корневого ориентированного дерева (рис. 4.17) найти:

а ) потомков вершины ,

б) предков вершины ,

в) родителя вершины ,

г) уровень вершины ,

д) сыновей вершины ,

е) высоту дерева,

ж) листья дерева. Определите, является ли дерево бинарным.

6. Среди приведенных ниже графов (рис. 4.18) найти те, которые имеют эйлеров цикл.

7. Найти матрицы инцидентности и смежности следующих графов (рис. 4.19).

8 . Для заданной матрицы смежности найти граф.

9. Для графа на рис. 4.20:

а ) найти матрицу смежности,

б) используя матрицу смежности, найти все пути длины 2 и 3.

Ответы

1. а) путь, простой путь, длина 5; б) путь, не простой путь, длина 6; в) путь, не простой путь, длина 7; г) путь, не простой путь, длина 8.

2. а) не цикл; б) не цикл; в) цикл, не простой, длина 8; г) цикл, простой, длина 6.

3. а) вершины - источники, б) вершины - источники, вершина -сток.

4. а) и б) – деревья, в)- нет. 5. Высота дерева равна 3.

6. а) имеет эйлеров цикл.