2. Исчисление предикатов

Некоторые утверждения, имеющие форму высказываний, содержат переменные, конкретные значения которых не указаны. При одних значениях переменных утверждение является истинным, при других – ложным. Такие утверждения называются предикатами.

Предикат с одной переменной называется одноместным предикатом. Предикат, имеющий две переменные, называется двуместным предикатом; предикат, содержащий n переменных, называется n-местным предикатом.

Примеры: 1) Р(x): 10-x=3 – одноместный предикат.

Р(7): 10-7=3 является высказыванием, и это высказывание истинно;

Р(5): 10-5=3 – ложное высказывание

2) Q(x,y,z): - трехместный предикат

Говорят, что набор значений переменных удовлетворяет предикату, если на этом наборе предикат принимает значение «истина», т.е. становится истинным значением.

(«для любого x», «для всех x»)- квантор всеобщности (универсальный квантор)

(«существует x») – квантор существования

Множество значений, которое может принимать х , называется универсом, или предметной областью. Чтобы предикат был высказыванием, все его переменные должны иметь конкретные значения или быть связаны соответствующим квантором.

Для отрицания высказывания, содержащего кванторы, заменяется на , и наоборот, после чего берется отрицание предиката, связанного с этой последовательностью кванторов:

; .

Задачи для самостоятельного решения

1. Заданы предикаты

Р(x,y,z):

_Q(x,y,z):

_R(x,y,z):

_{S(a,b,c): a нравится b больше, чем c}

_{Запишите следующие высказывания: а) Р(1, 2, -5); б) Q(7,10); в) R(0,1); г) S (Миша, Марина, Таня).}

2. Используя P,Q,R,S из упражнения 1, запишите высказывания:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

3. Пусть Q(x,y,z): _{, предметная область для x, y, z – множество целых чисел. Что можно сказать об истинности} ?

4. Пусть P(x,y,z): . Какой должна быть предметная область, чтобы следующее высказывание было истинным:

Ответы

1. а) Р(1,2,-5): ; б) ; г) Мише Марина нравится больше, чем Таня. 2. а) существуют x и y такие, что _{; в) для каждого y существует x такое, что ; г) Мише нравится Марина больше, чем кто-либо. 3. Ложно, например, Q (1,2,3) – ложно. 4. Множество положительных действительных чисел.}

3. Математическая индукция Принцип математической индукции

(А1) Пусть P(n) – такое утверждение, что

1. P(1) истинно;

2. для каждого к, если P(k) истинно, то P(k+1) истинно

Тогда P(n) истинно для любого целого положительного числа n.

В символической записи:

Пример1. Доказать, что для любого натурального n выполняется

1+2+3+…+n=

Пусть S_n – утверждение «1+2+3+…+n= ». Проверим, что S_n истинно для n=1.

1. S₁=1= - верно;

2. Предположим, что для любого к утверждение

S_к=1+2+3+…+к= - верно.

Требуется доказать, что S_к+1=1+2+3+…+k+k+1= – верно. В самом деле, S_к+1=(1+2+3+…+k)+k+1= S_к+(k+1)= _.

_{Итак, получили, что Sк+1 истинно. Следовательно, по индукции, Sn истинно для всех натуральных n.}

_{Пример 2. Требуется показать, что для любого положительного целого числа n , число n}³ _{- n делится на 3.}

Пусть S_n – утверждение «n³-n делится на 3». Покажем, что S_n истинно для n=1.

1)S₁=1³-1=0, поэтому n³-n при n=1 делится на 3, так как 0= _,.

Таким образом, S₁ истинно.

2) Допустим, что S_k истинно, т.е. k³-k делится на 3, поэтому k³-k=3m для некоторого положительного целого m. Требуется доказать, что S_к+1 –истинно, т.е. (k+1)³-(k+1) делится на 3, т.е. существует такое натуральное w, что (k+1)³-(k+1)=3w.

_{Преобразуем}

_(k+1)³_-(k+1)=(k³_+3k²_{+3k+1)-(k+1)=(k}³_-k)+(3k²_+3k)=3m+3(k²_{+k)=3w, где w=m+(k}²_{+k). Таким образом, (k+1)}³_{-(k+1) делится на 3, и следовательно, Sк+1 истинно. Поэтому, по индукции, Sn истинно для всех натуральных n.}

(А2) (Второй принцип индукции). Пусть P(n) – утверждение. Если

а) Р(1) истинно, и

б) для произвольного k из истинности P(m) для всех m<k следует истинность P(k),

то P(n) истинно для всех положительных целых чисел n.

Аксиомы А1 и А2 сформулированы для целых чисел, начиная с 1, с продолжением условий на целые числа, больше 1. Аналогичные теоремы индукции верны для целых чисел, не меньших некоторого целого j, которое может не совпадать с 1.

Теорема (принцип индукции для целых чисел). Пусть P(n) - высказывание, обладающее свойствами

а) P(j) истинно и

б) для произвольного , если P(k) истинно, то P(k+1) истинно.

Тогда P(n) истинно для каждого .

Пример3. Доказать, что для любого целого числа имеет место неравенство

Решение. Согласно обозначениям, введенным для принципа индукции для целых чисел, имеем j=4, P(n) – утверждение « ».

1. При n=4имеем 4!=24 и 2⁴=16, так что 4!>2⁴.

2. Предположим, что k!>2^k. Нужно доказать, что (k+1)!>2^k+1.

Заметим, что (k+1)!=k!(k+1); 2^k+1=2^k2, т.е нужно доказать, что k !(k+1)>2^k2. Покажем, что k+1>2. Так как , то k>2, следовательно, (k+1)k!>2·2^k и (k+1)!>2^k+1.. Таким образом, n!>2ⁿ для каждого .