Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Тамбовский государственный технический университет»
И.В. Жигулина,
И.В. Косенкова
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Электронные методические указания
для студентов, обучающихся по направлениям 110800.62, 190600.62, 190700.62, 230700.62
Тамбов
Издательство ТГТУ
2012
ВВЕДЕНИЕ
Конечным итогом работы инженера является алгоритм, реализованный программным, аппаратурным или программно-аппаратурным способом. В настоящее время в связи с широким использованием вычислительной техники в различных сферах человеческой деятельности все большее значение приобретают вычисления на дискретных структурах. Изучение дискретной математики является неотъемлемой частью подготовки квалифицированных инженерных кадров.
Как цельная область знания дискретная математика стала чрезвычайно бурно развиваться лишь с середины XX века, когда были обнаружены ее многочисленные применения с информатике и вычислительной математике. Объекты, возникающие в связи с задачами дискретной математики, всегда могут быть четко отделены друг от друга, что вполне соответствует термину «дискретный» (от лат. discretus - раздельный). Таким образом, основной особенностью дискретной математики является отсутствие предельного перехода и непрерывности, характерных для классической математики.
Настоящие методические указания предназначены для студентов инженерно-технических направлений подготовки. Они включают в себя краткий теоретический материал по шести разделам дискретной математики, а также практикум, включающий задачи с решениями и задачи для самостоятельной работы.
Раздел 1. Основы математической логики Теоретические сведения
1.1 Высказывания и логические связки
Высказывание – утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.
Истинность или ложность, приписываемые некоторому утверждению называется его значением истинности, или истинностным значением.
Высказывание, не содержащее связок, называется простым; высказывание, содержащее связки, называется сложным.
Выражение p
q
(p
и q)
называется конъюнкцией
высказываний
p
и q.
Выражение p
q
(p
или q)
называется дизъюнкцией
высказываний
p
и q.
Отрицание
высказывания
обозначается 
p
(не p).
Высказывание может быть истинным (1) или ложным (0).
Таблица истинности перечисляет все возможные комбинации истинности и ложности сложных высказываний.
Пример 1.
Постройте таблицу истинности для
высказывания
.
-
p
qp q
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
Решение. Поскольку сложное высказывание содержит три основных высказывания p,q, r, то возможны восемь случаев.
-
p
q
r
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
Высказывание
(если
p,
то
q)
называется импликацией,
или условной
связкой.
Высказывание вида
обозначается
через
и
называется эквиваленцией.
p |
q |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Примеры. Найти таблицу истинности для выражений
2)
.
Решение.
p |
q |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3)
p |
q |
r |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Сложные высказывания, имеющие различное строение, но являющиеся истинными в одних и тех же случаях называются логически эквивалентными. Эквивалентность двух высказываний легко установить посредством сравнения их таблиц истинности.
Высказывание, истинное во всех случаях, называется логически истинным (тавтологией); высказывание, являющиеся ложным в каждом случае называется логически ложным (противоречием).