1.4. Следствия формулы Планка

^{Легко убедиться, что упоминавшиеся ранее законы теплового излучения  Стефана-Больцмана (1.13), Вина (1.14) (включая правило смещения Вина (1.16)), формула Рэлея-Джинса (1.18), получаются как следствия формулы Планка. При этом из формулы Планка получаются не только внешняя форма этих законов, но и значения входящих в них констант – постоянная Стефана-Больцмана  и постоянная Вина b. Все это является убедительным доказательством того, что формула Планка верна.}

^{Закон Стефана-Больцмана. Согласно формуле Планка (1.24) энергетическая светимость абсолютно черного тела равна}

. (1.26)

Здесь введена безразмерная переменная интегрирования x=h/kT. Интеграл в выражении (1.26)  табличный, его значение равно 4/15, тогда R(T)=T ⁴, где , т.е. постоянная выражена только через фундаментальные постоянные.

Закон Вина. Сравнивая закон Вина (1.14) и формулу Планка (1.23), можно видеть, что они совпадают, если в качестве значения функции F(/T) выбрать

.

Правило смещения Вина. Если испускательная способность абсолютно черного тела достигает максимального значения при =_m, то производная по  от испускательной способности в выражении (1.25) должна обращаться в ноль при =_m. Взяв производную по  и введя обозначение , получаем уравнение

xe^x5e^x+5=0.

Единственное решение этого транцендентного уравнения x4.965, тогда

- постоянная Вина.

Формула Рэлея-Джинса. Как упоминалось выше, формула Рэлея-Джинса хорошо согласуется с экспериментальными данными для случая больших температур и малых частот, т.е. . Тогда в выражении (1.33) можно записать, и значение испускательной способности абсолютно черного тела будет равно, что совпадает с формулой Рэлея-Джинса (1.19).

2. Квантовые свойства света

2.1. Понятие о квантах

При изучении теплового излучения была рассмотрена гипотеза Планка, согласно которой излучение света происходит порциями  квантами. Эта гипотеза легла в основу квантовой теории. Правда, при выводе своей знаменитой формулы для спектральной плотности теплового излучения, Планк приписывал свойства дискретности только процессу испускания излучения, а не самому излучению как таковому. Развивая гипотезу Планка, А.Эйнштейн сделал предположение о том, что дискретность света сохраняется также при его распространении и взаимодействии с веществом, т.е. само электромагнитное излучение состоит из отдельных квантов. Так представление о квантах излучения приобрело законченный вид. В рамках квантовой теории свет представляет собой поток дискретных частиц, позднее названных фотонами.

Так же как и у Планка, согласно гипотезе Эйнштейна, энергия фотона зависит от его частоты и равна

. (2.1)

Но, следуя одному из основных выводов специальной теории относительности, с энергией E неразрывно связана масса m, причем соотношение между E и m дается выражением E=mc². На этом основании фотону можно приписать некоторую массу, величина которой определяется из соотношения

. (2.2)

Фотон является релятивистской частицей, если бы масса покоя фотона m₀ была отлична от нуля, то его релятивистская масса

была бы бесконечно большой. Поэтому надо допустить, что для фотона m₀=0.

Если фотон обладает энергией, то он должен обладать и импульсом. Фотон движется в вакууме со скоростью света c, следовательно, импульс фотона

. (2.3)

По направлению импульс фотона совпадает с направлением распространения света.

Гипотеза Эйнштейна была подтверждена многочисленными фактами (опыт Боте, эффект Комптона, наличие коротковолновой границы у тормозного рентгеновского излучения, фотоэффект и др.) и легла в основу объяснения ряда оптических явлений, с которыми не могла справиться волновая теория света.

Рис.2.1.

Одним из наиболее убедительных опытов, показывающих, что энергия электромагнитного излучения не распространяется равномерно во все стороны, как это следует из волновой теории, а излучается то в одном, то в другом направлении в виде дискретных квантов, является опыт Боте (1924 г.).

В этом опыте (рис. 2.1) тонкая металлическая фольга Ф освещалась рентгеновскими лучами малой интенсивности, вызывающими в фольге слабую рентгеновскую флюоресценцию (послесвечение). Рентгеновское излучение от фольги попадало на два счетчика ионизирующего излучения Сч1 и Сч2 (счетчики Гейгера). Чувствительность таких счетчиков настолько велика, что они могут регистрировать отдельные рентгеновские кванты. Срабатывая, счетчики приводили в действие механизмы самописцев М1 и М2, делающие отметки на движущейся ленте Л. В результате получено, что отметки на ленте от двух самописцев, связанные с моментами попадания в счетчики рентгеновских квантов, абсолютно случайны. Этот факт можно было объяснить лишь беспорядочным попаданием рентгеновских квантов, рассеиваемых фольгой то в одном, то в другом направлении, тогда как согласно волновым представлениям излучение от источника должно распространяться равномерно во все стороны.