МатАн. ОТВЕТЫ 2017

1. Модуль действительного числа и его свойства.

• Модуль числа – абсолютная положительная величина числа.

Свойства

• |a|=|-a|

• |ab|=|a||b|

• Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b, то есть, 

• Модуль суммы двух чисел меньше суммы модулей этих чисел. |a+b||a|+|b|

2. Предел числовой последовательности.

• Число A называется пределом числовой последовательности , если

Пишут:

3. Предел функции, теорема единственности предела.

• (Коши)

• Число называется пределом функции в точке , если:

1. Функция определена в некоторой проколотой окрестности точки

2. выполняется условие:

• (Гейне)

• Число называется пределом функции в точке , если:

1. Функция определена в некоторой проколотой окрестности точки

2. Для любой последовательности точек из некоторой проколотой окрестности точки , имеющей своим пределом , соответствующая последовательность значений функции имеет своим пределом число А

• Если функция имеет предел в точке, то этот предел единственный.

7. Ограниченность функции, имеющей конечный предел.

• Если функция имеет конечный предел в точке, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.

7. Предел суммы, произведения и частного функций.

• Предел суммы

• Предел произведения

• Предел частного

7. Предельный переход в неравенствах.

Пусть в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство

f (x) g(x) . Тогда , если пределы существуют.

7. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых величин. Сравнение бесконечно малых.

• Функция называется бесконечно малой при если

• Функция называется бесконечно большой при если

• Свойства

• Произведение бесконечно малой при на функцию, ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки , является бесконечно малой при

• Если – бесконечно малая при , не принимающая значение 0 в некоторой проколотой окрестности точки , то – бесконечно большая при

• Если – бесконечно большая при , не принимающая значение 0 в некоторой проколотой окрестности точки , то – бесконечно малая при

• Функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при , если

7. Непрерывность основных элементарных и элементарных функций. Классификация точек разрыва.

• основные элементарные функции:

1. степенные функции

2. показательные функции

3. логарифмические функции

4. тригонометрические функции

5. круговые (обратные тригонометрические) функции

• Функция называется элементарной, если она может быть представлена через основные элементарные функции с помощью конечного числа операций

• Основные элементарные функции непрерывны в области определения.

• Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.

• 1) Функция f (x) имеет в точке x_o устранимый разрыв, если выполняются условия 1–2, но не выполняется условие 3.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции, если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция либо не определена, либо ее значение не равно пределу в этой точке

• 2) Функция f (x) имеет в точке x_o разрыв I рода («разрыв скачка»), если выполняется только условие 1.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

• 3) Функция f (x) имеет в точке x_o разрыв II рода, если условие 1 не выполняется.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

7. Теорема Коши о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.

Если функция f (x) непрерывна на промежутке X и её значения

f(a)=A, f(b)=B, то для любого числа C, заключённого между A и

B, существует точка x₀X, в которой значение f(x₀)=C

7. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.

• Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нём.

• Теорема Вейерштрасса о достижении наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке.

• Если функция непрерывна на отрезке, то среди её значений на этом отрезке есть наибольшее и наименьшее

7. Производная и дифференциал, дифференцирование функций.

• Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента.

• дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .

• Дифференцирование произведения функций.

• Дифференцирование сложной функции.

7. Связь непрерывности и дифференцируемости функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале, то она и непрерывна на этом интервале. Но обратное утверждение НЕВЕРНО.