§5. Полілінійні функції.

1. Означення полілінійної функції. Нехай – - вимірний лінійний простір, а – спряжений до простір. В цьому параграфі нам буде зручно нумерувати координати вектора простору за допомогою верхніх індексів, а координати вектора спряженого простору – за допомогою нижніх індексів, наприклад, , . Крім того, у тензорному численні чинна така домовленість: якщо індекс сумування зустрічається вгорі і внизу, то знак суми за цим індексом пропускається. Наприклад, вирази , записують у вигляді , відповідно.

Функція , яка залежить від векторів лінійного простору та векторів спряженого лінійного простору називається полілінійною функцією типу , якщо вона лінійна за кожним з аргументів як простору , так і простору .

Полілінійна функція типу є лінійною функцією одного аргументу – вектора простору , тобто є вектором простору .

2. Компоненти полілінійної функції. Нехай та – взаємні базиси просторів та відповідно і нехай , , , . Тоді

,

де числа

однозначно визначають полілінійну функцію і залежать від вибору базисів у просторах та . Числа називаються компонентами полілінійної функції. Зрозуміло, що компоненти утворюють – вимірну матрицю.

3. Зв'язок між компонентами полілінійної функції в різних базисах. Надалі нам буде зручно нумерувати елементи матриці не двома нижніми індексами, як це ми робили досі, а одним верхнім і одним нижнім, наприклад, .

Нехай та – взаємні базиси просторів та відповідно. Перейдемо до базису в просторі та взаємного з ним базису простору і з’ясуємо, як зв’язані компоненти полілінійної функції в базисах і з компонентами в базисах і .

Лема. Нехай , – два базиси лінійного простору , , а , – взаємні з ними базиси спряженого простору . Тоді .

Доведення. Покажемо, що матриця переходу від базису до базису , , збігається з матрицею ,

, .

Справді, з одного боку,

,

а з другого боку,

Таким чином, .

Помноживши рівність зліва на матрицю , отримаємо . Лему доведено.

В тензорному численні заведено штрихувати не самі літери, а їх індекси. Наприклад, базис зручно позначати .

З означення компонентів полілінійної функції маємо

.

Таким чином, компоненти , які визначають полілінійну функцію у взаємних базисах і , при переході до нових взаємних базисів , перетворюються за формулами

, (17)

де матриця визначає перетворення базису , , а матриця визначає перетворення базису , , до того ж .

4. Поняття про тензор. Якщо в якій-небудь системі координат – вимірного лінійного простору визначено систему чисел , які при переході до іншої системи координат перетворюються за формулою (17), то кажуть що в лінійному просторі визначено тензор, – разів коваріантний та разів контраваріантний. Число називається рангом (валентністю) тензора, а числа – компонентами тензора.

Кожній полілінійній функції типу однозначно відповідає тензор рангу , разів коваріантний і разів контраваріантний. Навпаки, кожному тензору однозначно відповідає полілінійна функція, так що тензори можна ототожнити з полілінійними функціями, хоча це лише одна з можливих реалізацій тензорів.