§2. Білінійні функції.

1. Означення та приклад. Функція від пари векторів дійсного лінійного простору називається білінійною, якщо вона лінійна за кожним з обох аргументів. Іншими словами, для білінійної функції справджуються такі умови:

,

, (4)

,

.

Приклад. В евклідовому просторі скалярний добуток є білінійною функцією.

2. Матриця білінійної функції. Виберемо в просторі який-небудь базис і нехай , . Тоді

Позначимо постійні через . Тоді

(5)

чисел – значення білінійної функції на всеможливих парах базисних векторів – називаються коефіцієнтами білінійної функції в базисі , а вираз (5) називається білінійною формою. Коефіцієнти білінійної форми утворюють матрицю

,

яка називається матрицею білінійної форми в базисі .

Очевидно, що рівність (5) можна переписати в матричній формі

, (6)

де , .

3. Зв'язок між матрицями білінійної форми в різних базисах. Нехай , – два базиси лінійного простору , , , і нехай – матриця білінійної форми в базисі , а – матриця тої самої форми в базисі . Нехай , , , , , . За рівністю (6),

.

Звідси,

. (7)

4. Симетричні білінійні форми. Білінійна форма називається симетричною, якщо для неї справджується умова:

. (8)

Теорема. Білінійна форма симетрична тоді і лише тоді, коли її матриця симетрична.

Доведення. Нехай білінійна форма симетрична. Тоді

,

тобто матриця білінійної форми симетрична.

Навпаки, нехай матриця білінійної форми симетрична, . Оскільки - матриця при транспонуванні не змінюється, то

.

Теорему доведено.

Наголосимо, що матриця симетричної білінійної форми симетрична в будь-якому базисі. Справді, нехай , – два базиси лінійного простору , , , і нехай – матриця симетричної білінійної форми в базисі , , а – матриця тої самої форми в базисі . Тоді, за (7), .

§3. Квадратичні форми.

1. Квадратична форма як окремий випадок білінійної форми. Функція , яка отримується з симетричної білінійної форми при , називається квадратичною формою. Матриця симетричної білінійної форми називається матрицею відповідної квадратичної форми , а рівності (5), (6) для квадратичної форми набувають вигляду

( )

( )

Наголосимо, що матриця квадратичної форми як матриця симетричної білінійної форми є симетричною матрицею, .

Зазначимо, що не лише за симетричною білінійною формою однозначно визначається квадратична форма , а й навпаки, - квадратична форма однозначно визначає симетричну білінійну форму . Справді, нехай - довільні вектори. Тоді

.

Оскільки , то з останньої рівності дістаємо

,

тобто симетрична білінійна форма однозначно визначається квадратичною формою .

2. Квадратичні форми і скалярний добуток. Квадратична форма називається додатно визначеною, якщо для будь-якого ненульового вектора .

З раніше поданих означень випливає, що для додатно визначеної квадратичної форми та відповідної їй симетричної білінійної форми справджуються такі рівності:

,

,

,

.

Ці рівності збігаються з аксіомами скалярного добутку з точністю до позначень. Звідси, скалярний добуток є симетричною білінійною формою, що відповідає додатно визначеній квадратичній формі; навпаки, кожну таку білінійну форму можна трактувати як скалярний добуток. На цій підставі можна вважати, що евклідів простір – це лінійний простір, в якому задано додатно визначену квадратичну форму, а відповідна їй симетрична білінійна форма відіграє роль скалярного добутку. При цьому сама квадратична форма визначає квадрат модуля вектора, або, як кажуть, визначає евклідову метрику в лінійному просторі.

Якщо , то квадратична форма називається від’ємно визначеною.

3. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Кажуть, що квадратична форма має канонічний вигляд, якщо її матриця діагональна.

Нехай в якому-небудь базисі лінійного простору задано квадратичну форму

.

Теорема. Для кожної квадратичної форми існує базис простору , в якому квадратична форма має канонічний вигляд,

. (9)

Доведення. Доведемо теорему методом математичної індукції за числом змінних . При теорема справджується очевидним чином. Припустимо, що теорема справджується для квадратичних форм від змінної і доведемо, що вона справджується для квадратичних форм від змінних.

Не зменшуючи загальності, можна вважати, що коефіцієнт при не дорівнює нулеві. Справді, якщо , але для деякого , то можна так змінити нумерацію, щоб коефіцієнт перейшов у . Якщо ж всі діагональні елементи , то, змінивши при потребі нумерацію, можна вважати, що . В цьому випадку зробимо таку допоміжну заміну змінних

. (10)

Враховуючи, що , для суми двох доданків маємо

і коефіцієнт при не дорівнює нулеві. Зазначимо, що лінійне перетворення (10) має матрицю

,

детермінант якої не дорівнює нулеві і тому лінійне перетворення невироджене.

Отже, нехай . Зберемо разом доданки квадратичної форми, в які входить , і виконаємо очевидні перетворення:

.

Звідси остаточно маємо

,

де квадратична форма залежить від змінної і, за припущенням індукції, існує невироджене лінійне перетворення

з допомогою якого квадратична форма зводиться до суми квадратів:

.

Тоді з допомогою лінійного перетворення

(11)

квадратична форма зводиться до канонічного вигляду.

Перетворення (11) можна записати в матричній формі , де , ,

,

причому , і матриця , згідно з формулою , , , визначає перехід до шуканого базису . Теорему доведено.

4. Нормальний вигляд квадратичної форми. Кажуть, що квадратична форма має нормальний вигляд, якщо коефіцієнти її канонічного вигляду дорівнюють або ±1, або 0.

Теорема. Для кожної квадратичної форми існує базис в якому вона має нормальний вигляд.

Доведення. Зведемо спочатку квадратичну форму до канонічного вигляду . Додатковим невиродженим лінійним перетворенням

квадратична форма зводиться до нормального вигляду. Теорему доведено.

5. Ранг квадратичної форми. Нагадаємо, що матриці та квадратичної форми в базисах та відповідно зв’язані співвідношенням , де і . За наслідком з теореми про ранг добутку матриць , тобто ранг матриці квадратичної форми не змінюється при переході до іншої системи координат. Звідси, ранг матриці квадратичної форми називається рангом самої квадратичної форми. Зазначимо, що якщо квадратичну форму зведено до канонічного вигляду (9), то ранг її матриці, а отже і ранг самої квадратичної форми, збігається з числом ненульових коефіцієнтів .

6. Закон інерції квадратичної форми. В лінійному просторі існує багато базисів, в яких квадратична форма має нормальний вигляд. Виявляється, що набір коефіцієнтів , , є одним і тим самим з точністю до порядку у будь-якому базисі.

. В лінійному просторі позначимо через лінійний підпростір найбільшої вимірності з числа всіх підпросторів, на яких квадратична форма від’ємно визначена. Число називається індексом квадратичної форми . Якщо не існує лінійного підпростору на якому квадратична форма від’ємно визначена, то покладемо .

Теорема. Число коефіцієнтів нормального вигляду квадратичної форми, які дорівнюють , збігається з індексом цієї квадратичної форми.

Доведення. Нехай квадратична форма має індекс , , і нехай в деякому базисі має такий нормальний вигляд:

.

Позначимо , . Для кожного ненульового вектора його координати дорівнюють нулеві, тому , тобто на - вимірному просторі квадратична форма від’ємно визначена. Звідси, .

Припустимо, що . Для всіх векторів і тому . За теоремою про вимірності

.

Звідси, для кожного ненульового вектора повинні одночасно справджуватися нерівності і . З отриманої суперечності випливає, що . Теорему доведено.

Закон інерції квадратичної форми показує, що в дійсному лінійному просторі кожна квадратична форма цілком характеризується парою чисел – рангом та індексом – в тому сенсі, що всі квадратичні форми з одними й тими самими рангами та індексами зводяться до однакового нормального вигляду (кожна у своєму базисі). Іноді квадратичну форму характеризують іншою парою чисел, наприклад, рангом і сигнатурою – різницею числа додатних і числа від’ємних коефіцієнтів її нормального вигляду.