Розділ 9. Білінійні та квадратичні форми.

§1. Лінійні функції та спряжений простір.

1. Лінійні функції. Кажуть, що в лінійному просторі визначено лінійну функцію , якщо кожному векторові поставлено у відповідність число і при цьому справджуються умови

. (1)

Приклад. Зафіксуємо в евклідовому просторі який-небудь вектор . Тоді кожному векторові можна однозначно зіставити число . Умови (1) збігаються з відповідними аксіомами скалярного добутку, тому скалярний добуток визначає лінійну функцію на просторі .

Виберемо в лінійному просторі базис . Для будь-якого вектора і для будь-якої лінійної функції , визначеної в просторі ,

.

Звідси, для визначення лінійної функції на лінійному просторі досить визначити її на векторах якого-небудь базису цього простору, . Тоді

. (2)

Вираз (2) називають лінійною формою, а числа - коефіцієнтами лінійної форми. Таким чином, у заданому базисі кожній лінійній функції взаємно однозначно ставиться у відповідність рядок коефіцієнтів її лінійної форми.

2. Зв'язок між коефіцієнтами лінійної форми в різних базисах. Нехай , - два базиси лінійного простору , зв’язаних матрицею переходу , , , і нехай . Тоді , де , . Звідси,

,

або, в матричній формі,

,

де , , тобто стовпчики коефіцієнтів лінійної форми при переході до іншого базису перетворюються за тим самим правилом, що й вектори базису.

3. Спряжений простір. Позначимо через сукупність всіх лінійних функцій, визначених на лінійному просторі . В множині визначимо операції додавання та множення на скаляр за такими правилами.

Сумою лінійних функцій і називається функція, яка позначається , для якої .

Сума двох лінійних функцій є лінійною функцією:

,

.

Добутком лінійної функції на скаляр називається така функція, яка позначається , що .

Добуток лінійної функції на скаляр є лінійною функцією:

,

.

Вправа. Перевірити, що множина всіх лінійних функцій, визначених на лінійному просторі , утворює лінійний простір відносно щойно визначених операцій додавання та множення на скаляр.

Лінійний простір всіх лінійних функцій, визначених на лінійному просторі , називається спряженим до простору .

Вправа. Перевірити, що рядок коефіцієнтів лінійної функції у будь-якому базисі лінійного простору є сумою рядків коефіцієнтів лінійних функцій і у тому самому базисі, а рядок коефіцієнтів функції дорівнює добутку рядка коефіцієнтів функції на скаляр .

Таким чином, між простором лінійних функцій і - вимірним арифметичним простором рядків коефіцієнтів лінійних функцій у зафіксованому базисі лінійного простору існує взаємно однозначна відповідність, до того ж сумі функцій відповідає сума рядків, а добутку функції на скаляр відповідає добуток відповідного рядка на той самий скаляр. Таким чином, лінійний простір та - вимірний арифметичний простір рядків ізоморфні. Звідси, зокрема, .

4. Взаємні (біортогональні) базиси. Нехай – базис лінійного простору , а – базис спряженого простору . Базиси та називаються взаємними (біортогональними), якщо для них справджуються рівності

(3)

Теорема. Для кожного базису простору існує єдиний взаємний з ним базис простору .

Доведення. В заданому базисі лінійного простору рядок коефіцієнтів однозначно визначає лінійну функцію , для якої, згідно з (2),

.

Аналогічно, рядок коефіцієнтів однозначно визначає лінійну функцію , для якої

,

і т. д.

За лемою про лінійну залежність систем образів та прообразів при ізоморфному відображенні побудована система векторів спряженого лінійного простору лінійно незалежна, оскільки відповідні їй рядки коефіцієнтів як вектори ізоморфного арифметичного простору лінійно незалежні. Отже, - базис, взаємний з базисом . Єдиність очевидна. Теорему доведено.

З допомогою взаємних базисів легко обчислюються координати будь-якого вектора як лінійного простору , так і спряженого простору . Справді, нехай та - взаємні базиси і нехай , . Тоді

,

.

Значення лінійної функції на будь-якому векторі обчислюється так:

.

Остання рівність дає підставу позначати через , а звідси стає зрозумілою назва біортогональні базиси.