В режиме автоматизированного проектирования при формировании взаимозаменяемости решается вопрос автоматизированного поиска предпочтительных допусков и посадок с использованием компьюте­ров. Это устраняет рутинные операции при ручном использовании стандартов на основе норм взаимозаменяемости и резервирует время проектировщику для выполнения творческого труда (модуль 9).

Алгоритмическая модель обеспечивает взаимозаменяемость при выборе допусков и посадок соединений в модулях 6 и 7, для менее от­ветственных конструкций допускает применение экспертных методов, основанных на использовании обобщенного опыта и интуиции специа­листов (прецедентов, подобия, экономической остаточности). Обеспе­чение взаимозаменяемости завершается решением проблем техниче­ских измерений, контроля и стандартизации разработкой НТД (модули 10 и 11).

4. Стандартизация моделирования функциональных структур объектов машиностроения

1. Научно-методический подход стандартизации в моделировании функциональных структур

Нормативный охват подходов к стандартизации функциональных структур обширный, сводится к моделированию их по функциональ­ным свойствам, образованию комплекса изделия, исследованию пара­метров и точности этого комплекса с ориентацией на производство и эксплуатацию.

Различают следующие функциональные свойства: механические, определяемые соответствием нагружения и напря­жения для достижения стабильности функционирования изделия;

метрические (геометрические), определяемые совокупностью со­отношений между размерами с учетом существующих между ними связей;

кинематические, определяемые степенью приближения движения или траектории движения одного из элементов изделия к предписанно­му закону движения или траектории;

динамические, определяемые добавочной работой (или силой), воз­никающие от неточности параметров и приводящие к ухудшению функционирования изделия;

энергетические (массообменные).

Функциональные структуры состоят из комплексов с двумя соста­вами комплекса: материальным и информационным (абстрактным).

68

Элемент		Функция элемента
0	Е — шарикоподшипник V\ — втулка колеса V2 — ось колеса	F— снижение момента вращения втулки коле­са V\ вокруг оси V2
I	Е0—шарики Е\ — наружное колесо Е2—внутреннее колесо Еу—сепаратор	F0 = F F\ —обеспечение качения втулки V\ по шари­кам Е0 F2 обеспечение качения шариков £(> по оси ко­леса V2 F3 — обеспечение равноудаленного друг от друга расположения шариков Е0
II	£м — рабочая поверхность Е\= 2 — бортики £|=з — сопрягающее кольцо	Fi=i = F\ F\=2 — предотвращение отклонения шариков Eq с рабочей поверхности Ем Fi-з — обеспечение соединения

Пример. Пояснить анализом состава функциональную структуру шарикоподшипни­ка. Анализ состава структуры шарикоподшипника дан в табл. 2.1. Функциональная структура с наличием элементов и связи между ними, отражающими совокупность функциональных свойств, поясняется рис. 2.7* Функциональная структура моделирует­ся графиком с двух уровней иерархией конструктивных элементов.

Состав информационных комплексов. Информационные комплексы изделий обладают различными функциональными свойст­вами и состоят из элементов. В состав информационных комплексов изделий входят два вида элементов: пассивные, накапливающие и рас­сеивающие энергию, и активные в виде источников энергии. К элемен­там обоих видов относят:

в электрических цепях—пассивные элементы (сопротивление, ем­кость, индуктивность), активные элементы (источники тока и напряжения);

69

Шарикоподшипник

О

Рис. 2.7. Функциональная структура шарикоподшипника

в механических комплексах — пассивные элементы (сопротивле­ние, масса, упругость элементов комплексов с поступательным и вра­щательным движениями), активные элементы (источники силы и ско­рости).

В составе информационных комплексов изделий разного функцио­нального назначения обнаружена аналогия между его элементами. Идя по пути обобщения в использовании аналогии, принимают методоло­гию электрических цепей. Отсюда возникли электромеханические, электрогидравлические и другие аналогии. Особенно обращает на себя внимание аналогия анализа информационных комплексов с механиче­скими и электрическими свойствами (табл. 2.2).

Пример. Определить полное сопротивление (импеданс) механической системы на основе электромеханической аналогии. Вся система рассматривается как гипотетическая пружина с силой F, у которой один конец зафиксирован. Сила изменяется синусоидаль­но (рис. 2.8, а). В механической системе заданы:

масса жесткого тела т = Wig, упруго изменяющегося линейно с силовым градиен­том к\

полное перемещение массы m-ds = ds_k + ds_m;

сопротивление пружины Хк и массы тела Х_т при частоте / изменения силы F-X_m = = 27*; Х_к = kJ2nf_m.

Используя принцип электромеханической аналогии, находим им­педанс механической системы (рис.2.8, б)

Пример. Рассмотрим два жестких тела с массами т\ и т₂, разделенных между со­бой пружиной с силовым градиентом к₂. К телу с массой т\ приложена другая пружина с градиентом к\ (рис. 2.8, в). Из-за инерции массы т\ только часть силы F, приложенной к пружине кj, будет передана на массу т₂. Обозначим ее F₂. Результирующей, действую­щей на массу т_ь будет сила F - F₂, хотя силой, передаваемой через пружину, будет F. Общее смещение dr точки приложения силы F равно сумме смещения массы /и_ь у кото-

₌ ЦХ.)-(-/Х_к) ₌ х_мх, JX„-jX_k

т к

где j = V=I.

70

Таблица 2.2 I э- р X * II Q) 5 £ О СЪ * Заряд q(t) Ток i(t) Градиент d//df d/ _ . d/ 6t ~ 16q Индуктивность L e=L-^ ^Ld t d / Сопротивление R R F	—►
		« e

Я-f Емкость С d g 7/C de Конденсатор 6q=C6e =(!),- df VC	Перемещение S	Скорость V	Ускорение at	Масса m v 6v	Трение F ,Ft -v	Упругость k k
1 H		df	e dvf dv a* —1 = у— f df ds	4 4"	vl F	о 0 1
					Vy/W^/’/Л’ /	A 1 ds
Si si				F д	г = m=—~ d f	Л Г Пружина dF=k6s ¥-kv df

чш	кг
т,	ШМ	Л?2

в)

Cfe ^dsmt U

гИгЯГУт-ПГЯГ⁴^

**)|

1*1

k2 m2

*k2

Рис. 2.8. К примерам моделирования механических и электрических систем

рой будут смешения ds_m и деформация пружины k\-ds_k. Математически эти смещения можно записать в виде (рис. 2.8, г)

ds = ds. + ds ; d s_M = ds. +

ds

Снова отнесем сопротивление пружины Л*, и Л*₂ и сопротивление массы тела Х_т и ,V_m к частному изменению приложенной силы.

Форма моделирования функциональных структур. В моделировании структур комплексов изделий одной из форм записи комплекса является граф. Граф характеризуется наличием двух час­тей — отношением преобразования и отношением связей. Использова­ние графа позволяет решать задачу разбиения комплексов изделий на конструктивно законченные части, что упрощает управление матери­альными и информационными комплексами изделий. Структурно ком­плекс изделия при разбивании на части должен содержать максималь­ное количество объектов в каждой части разбивания, максимальное число выходов объекта, минимум типов частей разбивания, минимум связей между частями разбивания, равномерное распределение соеди­нительных связей между частями.

Граф состоит из множества X вершин и набора U пар вершин и обозначается G (X, U). Пара вершин, соединенных линиями, называет­ся дугой или ребром графа. Ребро называется ориентированным, если на нем имеется стрелка, указывающая, из какой вершины оно исходит и в какую вершину входит. Если такой стрелки на ребре нет, то оно называется неориентированным.

Существуют три вида графа: ориентированные, неориентированные и смешанные (рис. 2.9, а, б, в\ каждый из которых имеет несколько способов задания — рисунком, матрицей. Наглядным способом зада­ния графа является рисунок, на котором вершины обозначаются точка­ми, а ребра, соединяющие эти точки, — линиями.

По характеру решаемых задач моделирования структур различают: граф многоуровневой иерархической функциональной структуры изде­лий; модификации графа — структурная схема, цепь. Между двумя формами записи — графом и структурной схемой, имеется аналогия, где блоки соответствуют вершинам графа.

Последовательность ребер графа, в которой два соседних ребра имеют общую вершину, называют маршрутом. Если начало и конец маршрута находятся в одной вершине, то такой маршрут называется циклическим. Если в каждом маршруте каждое ребро встречается только по одному разу, то такой маршрут называется цепью. Цепи по функциональным свойствам различают: размерные, динамические, кинематические, электрические и электронные. Если цепь замкнута, т.е. начинается и оканчивается в одной и той же вершине, то она на­зывается циклом. Примером цикла служит электрическая цепь, отсю­да возникли электромеханические, электрогидравлические и другие аналогии. Если каждую вершину можно соединить с любой другой вершиной некоторой цепью, то граф называется связным. Связной граф, не содержащий циклов и не имеющий кратных ребер, называет­ся деревом.

Рис. 2.9. Виды графа: а — ориентированный, б — неориентированный, в — смешанный

73

2. Моделирование размерных цепей

Размерные цепи отражают объективные размерные связи ^ конст­рукции машины, в технологических процессах изготовления _ее дета­лей и сборки, при измерении.

Эти связи возникают из принципа инверсии и основывают_Сч су­ществовании преемственности между тремя последовательны^ про­цессами: изготовления, контроля, эксплуатации.

Свойства и закономерности размерных цепей отражаются сц_с<гемой понятий и аналитическими зависимостями, позволяющими Модулиро­вать их и обеспечивать экономически оптимальную точность п₀ стади­ям жизненного цикла.

Основные положения, термины и определения. Раз^_е^ной цепью называется совокупность размеров, непосредственно участ­вующих в решении поставленной задачи и образующих за^^утый контур.

Замкнутость размерного контура—необходимое условие диали­за и синтеза размерной цепи. Размерные цепи для детали и сб₀р*эчной единицы показаны на рис. 2.10, а, б. Один из размеров, обр^ ^ощих размерную цепь, называется звеном размерной цепи. Оно обозц_а^*ается прописной буквой русского или строчной буквой греческого алф_а^ита с индексом. На схеме размерных цепей звенья условно обозначаемся: линейные размеры — двусторонней стрелкой (рис. 2.10, o-jy параллельность — односторонней стрелкой с направление^ ^стрия к базе (рис. 2.10, а-2);

перпендикулярность — односторонней стрелкой с направлением острия к базе (рис. 2.10 а-3).

Графическое изображение размерной цепи называют схец₀{й раз­мерной цепи.

Звено размерных цепей бывает замыкающим и составлякзцц,**. За­мыкающее звено — звено размерной цепи, являющееся исходц_ы^« при постановке задачи или получающееся последним в результате _ее реше­ния. Составляющее звено — звено размерной цепи, функцц_он ально связанное с замыкающим звеном. По характеру воздействия ц_а замы­кающее звено составляющие звенья векторные и делятся на у_в^личи- вающее и уменьшающее звенья. Увеличивающее звено — соста вляю­щее звено размерной цепи, с увеличением которого замыкаюц^ звено увеличивается. Уменьшающее звено — составляющее звено ра^_м<ерной цепи, с увеличением которого замыкающее звено уменьшаемся - Со­ставляющее звено размерной цепи, изменением значения котор_ог<о дос­тигается требуемая точность замыкающего звена, является комг"^|енси* рующим звеном.

74

г

а)

АЛ

м*| iV| iV|

AfeS

А,=101

A₄=140

А*Л0

At

б)

Рис. 2.10. Размерные цепи: а — обозначение звеньев размерных цепей, 6 — виды размерных цепей

Звено, одновременно принадлежащее нескольким размерным це­пям, становится общим в связанных цепях.

Размерные цепи делятся по видам:

объектам расчета — подетальная — для определения точности вза­имного расположения осей и поверхностей одной детали, сбороч­ная — для нескольких деталей в сборочной единице и положения от­верстий;

решения основной задачи — основная, производная;

сфера приложения — конструкторская, технологическая, измери­тельная;

размерных величин звеньев — линейная, угловая;

расположения звеньев — плоская, пространственная, параллельно связанная.

Линейная размерная цепь—размерная цепь, звеньями ко­торой являются линейные размеры (рис. 2.10, 6-1, 2).

Угловая размерная цепь—размерная цепь, звеньями кото­рой являются угловые размеры (рис. 2.10, 6-3).

75

Параллельно связанные размерные цепи —размерные цепи, имеющие одно или несколько общих звеньев.

Плоская размерная цепь—размерная цепь, звенья которой расположены в одной или нескольких параллельных плоскостях.

Пространственная размерная цепь—размерная цепь, звенья которой расположены в непараллельных плоскостях.

Плоские и пространственные размерные цепи рассчитывают теми же методами, что и линейные. Необходимо лишь привести их к виду линейных размерных цепей. Это достигается путем проектирования размеров плоской цепи на одно направление, обычно совпадающее с направлением замыкающего размера, а пространственной цепи — на две или три взаимно перпендикулярные оси.

В размерном анализе и синтезе конструкций машин выбирают ме­тоды достижения точности замыкающего звена, обусловленные спосо­бами решения размерных цепей. Методы и способы автономны и к ним относятся следующие.

Метод полной взаимозаменяемости —метод, при кото­ром требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достига­ется во всех случаях ее реализации путем включения составляющих звеньев без выбора, подбора или изменения их значений. Чтобы обес­печить полную взаимозаменяемость, размерные цепи рассчитывают способом на максимум-минимум, учитывающим только предельные отклонения звеньев размерной цепи и самые неблагоприятные их со­четания при помощи системы аддитивных допусков. При таких до­пусках влияние их на издержки производства значительное. Обеспе­чение заданных отклонений при этом приводит к резкому повыше­нию стоимости, а поэтому расчеты экономически оптимальной точ­ности необходимы.

Метод неполной взаимозаменяемости применяется, ко­гда требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигает­ся с некоторым риском путем включения в нее составляющих звеньев без участия других методов. В этом случае допускаются перекрываю­щиеся допуски, и сборка может проходить с помощью методов груп­повой взаимозаменяемости, регулирования, пригонки, опираясь на тео- ретико-вероятностный метод расчета. Теоретико-вероятностный метод ограничивает выпуск бракованной продукции до небольшого допусти­мого предела с применением системы перекрывающихся допусков на основе случайного отбора деталей.

При методе групповой взаимозаменяемости требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается путем вклю­чения в размерную цепь составляющих звеньев, принадлежащих к со­ответственным группам, на которые они предварительно рассортирова­

76

ны. Выбор метода представляет экономическую проблему и предпола­гает дополнительные издержки производства. Сортировка деталей уве­личивает затраты на новую измерительную технику и привлекает до­рогостоящие контрольные автоматы. Увеличиваются затраты труда контролеров. Растут складские расходы в связи с дополнительными за­тратами по хранению отсортированных деталей.

В методе регулирования требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается изменением значения компенсирую­щего звена без удаления материала с компенсатора. Роль компенсатора обычно выполняет специальное звено в виде прокладки, регулируемо­го упора, клина и т.д. При этом по всем остальным размерам цепи де­тали обрабатывают по расширенным допускам, экономически прием­лемым для данных производственных условий. К недостаткам метода следует отнести увеличение числа деталей в машине, что усложняет конструкцию, сборку и эксплуатацию.

В методе пригонки требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается изменением значения компенсирующего звена путем удаления с компенсатора определенного слоя материала по оставленному припуску. Применяют способы совместной обработ­ки деталей и при большом объеме выполняемых работ, при высокой точности его автоматизируют.

К задачам расчета размерных цепей относят следующее.

Задача синтеза (прямая) — та, при которой заданы параметры замыкающего звена (номинальное значение, допустимые отклонения и допуски) и требуется определить параметры составляющих звеньев.

Задача анализа (обратная) — задача, в которой известны пара­метры составляющих звеньев и требуется определить параметры замы­кающего звена.

С учетом факторов, влияющих на изменение звеньев размерной цепи во времени, решаются две задачи — статическая и динамическая.

Сущность расчета размерной цепи заключается в установлении до­пусков, предельных отклонений, координат их середин, номинальных размеров всех звеньев.

Разработаны алгоритмы расчета размерных цепей в решении задач анализа и синтеза. Предпосылкой расчета служит системная постанов­ка, детерминированный и кибернетический подход, оперирование с не­прерывными, дискретными и случайными величинами.

Системная постановка выражена в построении функциональных структур упорядоченной совокупности параметров, предельных откло­нений и допусков в виде комплексов (последовательный, параллель­

77

ный, смешанный), решаемых правилами цепей по соответствующим функциональным свойствам (метрическому, кинематическому, дина­мическому, энергетическому).

В решении задачи анализа (обратной) детерминированным подхо­дом предусматривается математическое сложение допусков для данной совокупности составляющих звеньев и получается единственное значе­ние допуска замыкающего звена. Сложение допусков в зависимости от аддитивной и стохастической постановок может быть простым ариф­метическим и квадратичным.

В решении задачи синтеза (прямой) кибернетическим подходом оптимизируются требования к точности размерных цепей способами равной экономически достижимой точности (одного квалитета точно­сти) и экономически оптимальной точности. Синтез предусматривает­ся простой и структурный, в структурном соблюдают принцип крат­чайшей цепи.

Принцип соблюдается при конструировании изделия оптимизацией размеров звеньев размерных цепей на основе функционально-техноло­гического синтеза. Он обеспечивает повышение точности замыкающе­го звена размерной цепи при сокращении количества составляющих звеньев.

Метод полной взаимозаменяемости. Размерные цепи рассчитыва­ются в решении задач анализа и синтеза (обратной и прямой) с адди­тивными допусками непрерывных и дискретных величин при детерми­нированном и кибернетическом подходе. Определяется номинальный размер замыкающего звена, допуски и предельные отклонения всех звеньев размерной цепи.

Решение задачи анализа. В линейной размерной цепи раз­мер Л_л является замыкающим звеном, складывающимся из двух век­торных величин составляющих звеньев — увеличивающего размера А\ и уменьшающего размера А₂.

В общем случае расчета номинальный размер А± замыкающего зве­на при п увеличивающих и р уменьшающих звеньев с учетом вектор- ности величин определяется по формуле

Написав полный дифференциал функции по зависимости А_а Ail..., А_пЛ\ получим

(2.1)

78

и, заменив в этом выражении дифферен- циалы малыми конечными приращениями, а затем, перейдя к допускам, получим

TA^jTA,.

(2.2)

Номинальный

Ес(А£

Ei(Aj)

I

ГА

Допуски звеньев размерной цепи явля- ются скалярными величинами, а поэтому

допуск замыкающего звена ТА± равен размер ₀

арифметической сумме допусков состав- Рис. 2.11. Схема определения

ляющих звеньев ТА,.

В выводе уравнений для определения предельных отклонений замыкающего зве-

на введена важная предпосылка о координате середины поля допуска Е_С(А,) (рис. 2.11).

Координата середины поля допуска замыкающего звена записыва­ется

координаты середины поля

допуска

./=1 у=Ы

Тогда предельные отклонения замыкающего звена Л_А будут

п жр

е_л(а_&) = £е_л.(а ,)_у.-2>М)_ум;

/=1 /=ж-1

E_l(A_&) = £_lE,(A_/)_y.-¥_iE,(^A_J)_yu.

(2.3)

(2.4)

(2.5)

/=1

Пояснением применения метода полной взаимозаменяемости в ре­шении задачи анализа линейной размерной цепи служит пример.

Пример. Определить номинальное, предельные значения и допуск замыкающего размера Л_л (см. рис. 2.10, 6-2), если поле допуска увеличивающих размеров деталей Я10. уменьшающих — И9.

Номинальную величину Л_д находим по формуле (2.1)

Л_д = (101 + 50) - (5 + 140 + 5) = 1 мм.

Отклонения составляющих размеров находим по табл. 7 и 8 ГОСТ 25347—82:

А, = 100^+ои ; Л₂ = 50*°¹⁰ ; А₃ = А₅ = 5.₀,из; А₄ = 140_А,_о .

Допуск замыкающего размера вычисляем по формуле (2.2)

ТА_д = 140 + 100 + 30 + 100 + 30 = 400 мкм.

79

Координату середины поля допуска замыкающего размера определяем из форму­лы (2.3)

ЕШ = ЕМ\) + ЕМг)-[ЕМъ) + Е_С(А₄) + Е_С(А₅)] =

= (70 + 50)-[-15 + (-50) + (-15)] = 200 мкм.

Тогда верхнее и нижнее предельные отклонения замыкающего звена будут Е<(А_&) = E_z(At) + TAJ2 = 200 + 400/2 = 400 мкм;

Е,(А_&) = Е_с(А_л) + TAJ2 = 200-400/2 = 0.

Тогда

= I**⁴⁰ мм.

Расчет предельных размеров замыкающего звена

А™ = (101,14 + 50,10)-(4,97 + 139,9 + 4,97) = 1,4 мм;

АГ^п = (101,0 + 50,0) - (5,0 + 140,0 + 5,0) = 1,0 мм указывает на правильность решения задачи.

Решение задачи синтеза. Решение такой задачи является ос­новным, поскольку расчет всех допусков составляющих звеньев прово­дится по допуску и отклонениям замыкающего звена и имеет конеч­ной целью обеспечить выполнение машиной ее служебного назначе­ния. В повышении технического уровня решение задачи обязательное параметрами замыкающего звена являются показатели качества изде­лий машиностроения. В методической постановке решения число не­известных допусков в этой задаче равно числу составляющих звеньев цепи при наличии лишь одного уравнения (2.2). Возникающее «про­клятие размерностей» этой сложной задачи успешно преодолевается двумя способами.

1. Способ одного квалитета точности. Способ сводится к одному неизвестному назначением для всех размеров цепи одного ква­литета точности по стандарту допусков и посадок ГЦС ИСО. По этому квалитету должно обеспечиваться условие (2.2). Способ наиболее це­лесообразно применять к размерным цепям, когда ее размеры значи­тельно отличаются один от другого.

Квалитет точности характеризуется относительным коэффициен­том точности. Приведем значения относительных коэффициентов точ­ности а в зависимости от квалитетов точности

Квалитет точности 5 6 7 8 9 10 11

а 7 10 16 25 40 64 100

Квалитет точности 12 13 14 15 16 17

а 160 250 400 640 1000 1600

80

Обозначим расчетный относительный коэффициент точности а_т. Чтобы его найти, подставим в формулу единицу допуска

Г, =а_т(0,45з/^~).

Для упрощения расчетов и с учетом последующей корректировки в выражении для единицы допуска можно пренебречь вторым членом (0,001 D), не оказывающим заметного влияния на результат расчета. Коэффициент а_т при решении задачи подсчитывается по формуле

а_т = ^ — (метод полной взаимозаменяемости),

£(0,45V2> + 0,001D)

/=1

^(0,45\[D +0,00ID)²К* (теоретико-вероятностный

/=|

метод).

Из-за неизбежной разницы между расчетным значением а_т и а вы­бранные из найденного квалитета точности допуски на размеры раз­мерной цепи необходимо корректировать с тем, чтобы удовлетворя­лось уравнение (2.2). Исходя из этих уравнений, при корректировке допуски на некоторые размеры приходится либо увеличивать, либо уменьшать, учитывая при этом технологические возможности.

Пример. Определить допуски составляющих звеньев размерной цепи решением за­дачи синтеза (см. рис. 2.10, 6-2). Заданы номинальные значения всех звеньев размерной цепи и предельные отклонения замыкающего звена Л& = Г^0,75.

Коэффициент точности рассчитываем по формуле

₌ 750

^Gm 2,17 + 1,56+ 2*0,73 + 2,52

Коэффициент а_т округляем до большего значения для допусков составляющих звеньев по квалитету 11. Тогда

Л\ - 101 мм; Aj — 50 ^ мм; А$ ⁼ А$ — 5^075 мм; А4 ⁼ 140_о_>|^> мм.

Проверка по формуле (2.2) показывает сходимость расчетного и заданного значения Допуска замыкающего звена.

Теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей. При

Изготовлении деталей происходит рассеивание их размеров, вызывае­мое вариациями технологических факторов, а затем наблюдается слу­чайный характер сочетания составляющих размеров деталей при их сборке. Пользуясь вероятностными оценками, легко обнаружили, что, Допустив малый или даже пренебрежимо малый риск (вероятность) на-

Ят ” TAJCb /

6 — 4523

81

рушения взаимозаменяемости при сборке, получают расширение до­пусков составляющих звеньев в несколько раз и удешевление изготов­ления деталей в еще большее число раз. Можно расширить в несколь­ко раз допуски составляющих звеньев и соответственно снизить произ­водственные затраты за счет непринятия в расчет маловероятных ком­бинаций числовых значений тех же звеньев.

Если в расчете размерных цепей экономические подсчеты указыва­ют на необходимость применения системы перекрывающихся допус­ков на основе случайного сочетания деталей, то допуски должны опре­деляться статистически для того, чтобы регулировать долю дефектных деталей при незначительном и приемлемом уровне. В сущности, стати­стическое определение допусков будет указывать величину, на кото­рую можно увеличить допуск, основываясь на приемлемой степени риска получения незначительной доли дефектных деталей.

Вычисление статистических допусков звеньев размерной цепи ос­новано на использовании выводов теорем теории вероятности. В соот­ветствии с выводами теорем решают четыре вида суммирования: суммирование независимых скалярных случайных величин; суммирование независимых векторных случайных величин; суммирование коррелятивно зависимых величин; суммирование функциональнозависимых величин, связанных ли­нейной зависимостью.

Первый ряд суммирования излагается ниже, последние три вида используются в точностных расчетах методик нормирования.

Суммирование независимых скалярных случайных величин. При суммировании независимых скалярных случайных ве­личин используются выводы нескольких теорем.

Если хи х₂, ..., Хк являются независимыми случайными вели­

чинами с соответствующими средними

Ми М₂, ..., Mj, ..., М_к

и дисперсиями

2 2 2 2

У ⁹ 2⁹ ■*’’ j⁹ к

и если а\, а₂, • <*к являются постоянными величинами, а у пред­

ставляет собой линейную комбинацию x_j9 т.е.

у = Q\X\ ± ... ± UjXj ± :.. ± а_кх_к,

то у является случайной величиной, имеющей следующие свойства:

82

1. М_у = а\М\ + а₂М₂ + ... + акМь

2) а² = tf,²a² +a\o \ + ... + a*²a*,

если каждая случайная величина х\₉ х₂, х* подчиняется нормально­му закону распределения, то >> тоже имеет нормальный закон распре­деления.

Если величина х, не подчиняется нормальному закону распределе­ния и если дисперсии ст,² примерно однородны, то, согласно теореме о пределах из математической статистики, по мере увеличения количест­ва составляющих звеньев к распределение у быстро приближается к нормальному. Если необходимо учесть неравное распределение допус­ков при комбинации приведенных ниже условий: распределение х не является нормальным; величина к имеет наибольшие значения; дис­персии распределения х не являются однородными, то должно быть применено свойство теоремы комбинации независимых случайных пе­ременных. В соответствии с выводами свойства теоремы для определе­ния допуска замыкающего размера при произвольном законе распреде­ления вводят коэффициент относительного рассеяния к. Коэффициент к характеризует отличие распределения допусков звеньев размерной цепи от распределения по закону Гаусса. Каждый закон распределения имеет свое значение к, например для закона нормального распределе­ния к - 1, для закона равной вероятности к = 1,73, для закона треуголь­ника (Симпсона) к = 1,22.

Размах распределения у измеряет рассеивание линейной комбина­ции Xj. Наиболее часто допуск, определяющий качественные характе­ристики комплекса размерной цепи, представляет собой линейную комбинацию допусков соответствующих качественных характеристик деталей. Таким образом, при использовании допусков каждый размах распределения х соответствует допуску для качественной характери­стики детали, входящей в размерную цепь. Размах распределения у со­ответствует допуску для качественной характеристики замыкающего звена всего комплекса размерной цепи.

Размах отклонений размеров соответствующих звеньев, выражен­ный значениями /?_ь R₂, •••> Я*, представляет собой соответствующие допуски, определяющие качественные характеристики. Значение R_y яв­ляется допуском, определяющим качественную характеристику замы­кающего звена комплекса размерной цепи. Средние величины М\, М₂ М_к соответствуют номинальным значениям звеньев размерной Цепи, а М_у — номинальному значению замыкающего размера. Среднее квадратическое отклонение а_у используется в качестве измерителя R_у; так, для закона нормального распределения 6а_у = R_y. Подобным образом <*1, а₂, ..., а* будут соответственно оценками /?_ь R₂, ..., Л*. Число допус- 6* 83

ков размерной цепи обозначается /я, отсюда возникает т распределе­ние отклонений деталей.

Из сказанного выведено уравнение для определения допуска разме­ра замыкающего звена

Для допуска размера замыкающего звена при произвольном законе распределения вводят коэффициент относительного рассеяния и пре­дыдущее уравнение примет вид

Применив к полученным уравнениям аналогичные процедуры их преобразования в решении задачи синтеза, как это сделано в методе полной взаимозаменяемости, легко получают уравнения для расчета допусков составляющих звеньев размерной цепи по заданному допус­ку замыкающего размера.

Пояснением применения теоретико-вероятностного метода в расче­те размерных цепей могут служить примеры, рассмотренные ниже.

Пример. На примере расчета четырехзвенной размерной цепи решением задачи синтеза методами полной взаимозаменяемости и теоретико-вероятностным сравнить до­пуски составляющих звеньев ТА, при равенстве ТА& = 4TAj (см. рис. 2.10).

Расчет методов максимума—минимума при аддитивных допусках дает ТЛ& = 4ТА_/9 откуда ТА, - TAJ4.

Расчет теоретико-вероятностных методов со случайными переменными перекрываю­щих допусков дает

Из сравнения по обоим расчетам видно, что применение теоретико-вероятностного расчета позволяет при том же допуске замыкающего звена ТА_а расширить в два раза до­пуск составляющих звеньев с риском 0,27%. В общем машиностроении пренебрегают величиной такого риска и с ним создают машины.

Моделирование точности угловой размерной цепн фланцевых соединений. При сборке составные части изделия часто соединяются между собой с помощью круглых фланцевых соединений. Отверстия располагаются по окружности, причем взаимное их расположение ко­ординируется одновременно угловыми размерами, проставленными на

84

ТА, = J4(TA,? = 2ГА_/.

откуда

ТА, = TAJ 2.

чертеже цепочкой или лесенкой в радиальном направлении и межосе- вом расстоянии. Собираемость фланцевых соединений зависит от до­пуска на межосевое расстояние /, погрешностей угловой Дф и радиуса Дг окружности центров крепежных деталей, которые между собой на­ходятся в функциональной зависимости (см. рис. 2.10, б-З).

Для одной пары отверстий при угловой координации лесенкой проведем расчет независимого допуска на межосевое расстояние, т.е. без учета посадки болтов с отверстием, в вероятностной постановке. Эта задача может быть также решена для всех пар отверстий с коорди­нацией по цепочке на основе правила умножения вероятностей, при условии полной независимости погрешностей.

Случайная величина At для одного фланца имеет вид

где а = Дг sin (я/w), Ь\ = Ац>\Г cos (п/п), b₂ = Д(р2 г cos (п/п).

Последние три случайные величины имеют нормальное распреде­ление с математическим ожиданием 0 (нуль) и среднеквадратическими отклонениями

Следовательно, сумма этих величин At также нормально распреде­лена с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклоне­нием а/:

При этом P([At] < 3ai) = 0,9973.

3. Моделирование электронных цепей

Моделирование электронных цепей состоит в определении функ­ции цепи и отклонения функции цепи. Функция цепи зависит от пара­метров цепи в билинейной и биквадратной форме, на биквадратный случай распространяют метод корневого годографа. В определении от­клонения функции цепи используются методы максимума и миниму­ма, теоретико-вероятностный, Монте-Карло, методика смешанного расчета.

Функция цепи. Функция цепи весьма просто зависит от па­раметров цепи — комплексной частоты P_t и элементов цепи х. Зависи­мость функции цепи (полный импеданс) от пассивных элемен­

At ~ 2а + Ь\ + Ь₂,

2о_г sin (п/п), 2а_ф cos (п/п), 2а_ф cos (п/п).

85

тов — сопротивление R, индуктивность L, емкость С —приводится к соотношению

y = F(p,x) =

А(р) + В(р) С (р) + xD(p)

Данное соотношение описывает конформное отображение, транс­формирующее окружности в окружности. Математические свойства конформного отображения известны и широко используются для по­строения диаграммы импедансов. В соотношении для определения за­висимостей корней уравнений Р, от х используют метод корневого го­дографа. Сказанное об использовании метода корневого годографа по­ясним примером.

Пример. Функции цепи (импеданс) последовательного резонансного контура, при­веденного на рис. 2.12, а, имеют вид

Z = R+ pL+ — = ^{l+ pRC + p2lC}. рС рС

При наличии комплексно-сопряженных нулей положение полюсов и нулей показано на рис. 2.12, б. При изменении элементов flZC-цепей полюс остается в начале коорди-

/со

Я С

а)

в)

Рис. 2.12. Корневой годограф: а — последовательный контур; б — пол юсно-ну левое представление; в — корневой годограф

86

нат, а нули должны смещаться. Рассмотрим корневые годографы числителя. Исследуем зависимость корней уравнения от R:

I + pRC + p²LC = 0.

Преобразуем его к следующему виду: 1 + р^гЬС + RpC = 0.

Сравнение данного уравнения с общим уравнением приводит к следующей записи:

Используя правила построения корневого годографа, находим, что его ветви начина­ются из точек, соответствующих корням уравнения (рис. 2.12, в), и кончаются в точке, соответствующей корню уравнения рС = 0, рв = 0, I + p²LC = 0, р_А ^ = ±j / VZc.

Так как ветви корневого годографа расположены в левой части плоскости /?, то по­лучаем следующий окончательный результат:

о_с = -i/VZc.

Метод максимума — минимума. При функциональном ана­лизе методом максимума — минимума отклонение функции цепи оп­ределяют для наихудшего случая

где T_v — допуск функции цепи; Т, — допуск параметра элемента цепи, S, = 6у/дх\. Этот метод используют для разработки детерминированных моделей и когда число элементов цепи мало (не больше 5). Для рав­ных допусков на все элементы Т, = TJn \ S',-1.

Теоретико-вероятностный метод. В этом случае частные отклонения рассматриваются как случайные переменные и допускает­ся определенная вероятность риска (отбраковки). Цепь отбраковывает­ся, если

А{р) = 1 + p²LC, /1 = 2; В{р) = рС, m = 1; х = R.

Начальный угол от корня р_А( = ±y/VZC (угол выхода ветви годографа из корня

рА\) равен

= arg (р_Ах -p_fii)-arg(p_4i -p_Ai) + 180° ± /?360° =

= arg р_и -arg(p_f] - p_Ai) + 180° ± /?360° = 90°-90° + 180° ± />360° = 180°.

Аналогично для корня р_t = - j / VZC, 0 = 180°.

Так как n-m = 1, то существует единственная асимптота.

Точку соединения ветвей годографа ст_с можно определить из уравнения

После перестановки имеем p_t = ±1/VZC.

п

п

87

|Д>|=£.!?₍Дх, >7>

/=1

Для определения вероятности Р(\Ау\ > Т_у) отказов введем случай­ную переменную % и исследуем основные свойства и законы сложения этой переменной. Предположим существование функции плотности ве­роятности £ и обозначим эту функцию через Р_х. Вероятность события £ < х определяется как

X

/>(£<*) = Jcp(;c)dbt.

-X

При расчете допусков особую важность имеют равномерное рас­пределение и гауссовское (нормальное) распределение с математиче­ским ожиданием m и дисперсией D

X X

m - Jjccp(jc)dx, D=c²= J(x -m)²q>(x)dx.

-X —X

Если отдельные переменные коррелированы, то дисперсия резуль­тирующего распределения задается с введением коэффициента корре­ляции.

Методика смешанного расчета. В случае смешанного расчета элементы цепи разбиваются на три группы: а) элементы, не влияющие на работу цепи; б) элементы, изменяющиеся детермини- рованно; в) элементы, изменяющиеся стохастически. Отсюда следу­ет порядок смешанного расчета: во-первых, выбираются допуски функции цепи для групп б) и в) и затем выполняются вычисления по методам максимума — минимума и теоретико-вероятностному.

Метод Монте-Карло. Для вычисления отклонения функции цепи можно также применять методы статического моделирования, ис­пользующие вычислительную машину. В этом случае определяются псевдослучайные значения элементов цепи, и с помощью вычисли­тельной машины выполняется анализ цепи. Статистические свойства функции цепи оцениваются путем многократного построения этого процесса. В противоположность методам, описанным выше, этот ме­тод допускает произвольное распределение значений элементов цепи; кроме того, на свойства отдельных элементов цепи могут быть нало­жены дополнительные ограничения. Метод Монте-Карло может быть легко запрограммирован, но это потребует длительного времени.

88