Схемы Рунге-Кутта

Семейство схем Рунге-Кутта основано на аппроксимации неизвестных аргументов y(t_n) в правых частях дифференциальных уравнений f(t,y).

Р ассмотрим идею этих методов на примере алгоритма 2-го порядка. Выпишем точную формулу интегрирования ОДУ на n-м шаге численного решения:

В формуле

не знаем, чему равно y_n+1/2. Возьмем его из формулы явного алгоритма Эйлера:

и подставим в основную формулу интегрирования шага ОДУ. В результате получим следующий алгоритм реализации шага:

где

В зависимости от выбора метода интегрирования ОДУ на элементарном шаге и конкретной формы аппроксимации y (t) в правой части ОДУ, получаются алгоритмы различной точности и быстродействия. Наиболее популярен алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ за исключением жестких систем и, при этом, довольно экономичен (на каждом шаге интегрирования требуется вычисление 4-х значений функции f):

Если по различным причинам время расчетов становится критичным или точность неудовлетворительной, стоит попробовать вместо рассмотренного алгоритма Рунге-Кутта с фиксированным шагом другие методы.

Например, если известно, что решение на рассматриваемом интервале меняется слабо, либо существуют участки медленных и быстрых его изменений, Метод Рунге-Кутта с переменным шагом основан на разбиении интервала не на равномерные шаги, а более оптимальным способом.

Там, где решение меняется слабо, шаги выбираются более редкими, а в областях его сильных изменений - частыми. Это очень просто осуществить, т.к. алгоритм Рунге-Кутта является одношаговым и подразумевает простой пересчет при любом значении шага h_n искомого y (t_n+h_n) через y (t_n).

Таким образом, легко обобщить алгоритм на адаптированный вариант, с выбором на каждом шаге своего h_nв зависимости от локальной динамики решения на предыдущих шагах.

В результате применения адаптированного алгоритма, для достижения одинаковой точности может потребоваться существенно меньшее число шагов, чем для стандартного алгоритма Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

Система n дифференциальных уравнений

При помощи Mathcad можно решать системы N>=1 ОДУ первого порядка, если они записаны в стандартной форме Коши y'(t)=f(y(t),t).

В Mathcad имеется несколько встроенных функций, которые позволяют решать задачу Коши различными численными методами. Для нежёстких систем ОДУ применяются следующие функции:

rkfixed(y0,t0,t1,M,D) –метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом;
Rkadapt(y0,t0,t1,M,D)- метод Рунге-Кутты с переменным шагом;
Bulstoer(y0,t0,t1,M,D)- метод Булирша-Штера;
- y0 –вектор начальных знаний в точке t0 размера Nx1 ;
- t0 –начальная точка расчёта;
- t1-конечная точка расчёта;
- M- число шагов, на которых численный метод находит решение;
- D –векторная функция размера Nx1 двух аргументов –скалярного t и векторного y. При этом y- искомая векторная функция аргумента t того же размера Nx1.

Примечание:

Регистр первой буквы в методе актуален.

Каждая из приведённых функций выдаёт решение в виде матрицы размера (M+1)x(N+1). В её левом столбце находятся значение аргумента t, делящие интервал на равномерные шаги, а в остальных N – столбцах – значения искомых функций .

Пример:

Решим систему ОДУ осциллятора с затуханием с помощью функции

rkfixed.