2.2.2 Метод Лина

Для отыскания комплексных корней существует несколько методов. Все они почти всегда связаны с выделением из исходного алгебраического уравнения квадратичного множителя х2+рх+q. Широко применяемым методом этого типа является метод Лина. В его основе лежит представление алгебраического уравнения

х_n + а_n-1х_n-1 + ... + а₁х + а₀=0

в виде

(х2 + рх + q)(xn-2 + bn-lxn-3 + ... + b3x + b2) + b1x + b0=0,

где b1x+b0 - линейный остаточный член, который мы стремимся сделать равным нулю. Если это возможно, то исходное алгебраическое уравнение делится на квадратичный множитель без остатка. Предположив, что b1=b0=0. и сравнивая соответствующие коэффициенты двух приведенных форм алгебраического уравнения, получаем

bn-1=an-1-p;

bn-2=an-2-pbn-1-q;

bn-i=an-i-pbn+1-i-qbn+2-i;

p=(a1-qb3)/b2;

q=a0/b2.

Алгоритм итерационной процедуры действует следующим образом. Сначала задают вероятные значения р и q, которые вместе с заданными коэффициентами аi- используют для вычисления bn-1. В свою очередь значение bn-1 служит для вычисления bn-2 и т.д. до тех пор, пока не будут- найдены все коэффициенты, включая b2. При известных b3, b2 и a1 и а0 из двух последних уравнений можно найти уточненные значения р и q, обозначим их р* и q*. Если их отличие от р и q достаточно мало, счет прекращается. В противном случае всю процедуру повторяют с использованием новых значений р и q. Как видим, процедура решения сводится к решению двух уравнений с двумя неизвестными методом простой итерации.

В другом методе, также основанном на использовании квадратичного множителя х2 + рх + q и называемом методом Бэрстоу, для решения двух уравнений с двумя неизвестными используют метод Ньютона.

2.2.3 Метод Бэрстоу

Метод Бэрстоу в основном заключается в следующем: для коэффициентов множителя в виде квадратичного полинома, определенного в предыдущем параграфе, выбирают начальное приближение. Затем эти значения уточняют с помощью корректировочного коэффициента:

р=р+ Δр,

q=q+ Δq.

Требуется, чтобы остаточные члены R(p, q) и S(p, q) обращались в нуль в процессе вычислений. Если эти функции разложить в ряд Тейлора, то в результате получим:

S(p+Δp,q+Δq)=S(р, q)+(dS/dp)Δp+(dS/dq)*Δq+члены более высоких порядков

R(р+Δр,q+Δq)=R(р,q)+(dR/dp)Δp+(dR/dq)*Δq+члены более высоких порядков

Если предположить, что при уточнении р и q остаточные члены близки к нулю, то левые части этих уравнений обратятся в нуль. Если эти условия выполнены и корректировочные коэффициенты настолько малы, что членами высших порядков можно пренебречь, нам остается решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Получаем :

Δр=(S(dR/dq)-R(dS/dq))/((dR/dp)*(dS/dq)-(dS/dp)*(dR/dq))

Δq=(R(dS/dp)-S(dR/dp))/((dR/dp)*(dS/dq)-(dS/dp)*(dR/dq))

При нахождении частных производных R и S по р и q, надо помнить, что R и 5 являются функциями bi, которые в свою очередь зависят от р и q. Поэтому необходимо получить последовательность частных производных, подобную последовательности bi полученной ранее. Например,

db0/dp=C0=-1;

db1/dp=C1=-b0+p;

dbi/dp=Ci=bi-1-pCi -1-qCi -2; i=2,3... n-3;

dR/dp= -bn-3-pCn-3-qCn-4;

dS/dp=-qCn-3;

db0/dq=d0=0;

db1/dq=d1=-1;

dbi/dq=di=-bi-1-pdi -1-qdi -2; i=2,3... n-3;

dR/dq= -bn-4-pdn-3-qdn-4;

dR/dq=-bn-3-pdn-3.

По методу Бэрстоу отыскание улучшенных значений р и q продолжается до тех пор, пока не будет получено требуемое решение. Решение считается точным, если и S достаточно малы или, что го же самое, р и q достаточно малы. Метод Бэрстоу является улучшенным по сравнению с методом Лина, так как он быстрее сходится, а иногда дает сходимость в тех случаях, когда метод Лина расходится.