2.2.1. Десятичная система счисления.

Десятичной системой счисления называется такая система, для записи чисел в которой используется десять цифровых знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Слово «цифра» происходит от латинского digitus , что означает «палец». Эта система счисления, очевидно, получила свое развитие в силу биологических особенностей человека. Десятичная система счисления является позиционной, поскольку положение каждой цифры в числе определяет ее значение и вес.

Эта система используется наиболее часто в трактах взаимодействия человек-машина (на рабочих местах, в аппаратуре документирования, в принтерах и т.п.). Например, число 123,456 есть сокращенная запись выражения:

1*10² + 2*10¹ + 3*10⁰ + 4*10^-1 + 5*10^-2 + 6*10^-3

Положение каждой цифры в числе называется разрядом. Номер разряда определяется показателем степени при основании. Для конкретного примера - с основанием 10, на которое эта цифра умножается. В общем случае представления десятичных чисел справедливо выражение:

		n
N(10)	=	∑ Ki 10i ,	где
		i=m

m – может принимать значения -1, -2, -3, …

n – может принимать значения 0, 1, 2, 3, …

k_i – может принимать значения от 0 до 9.

Таким образом, в данном примере 1 сотня, 2 десятка, 3 единицы, 4 десятых доли, 5 сотых и 6 тысячных долей. Запятая (точка) в позиционном представлении чисел используется для отделения целой части числа (выражений, имеющих положительные показатели степени) от дробной части (выражений с отрицательными показателями степени). Поэтому можно записать: N = N_Ц+N_Д,

где N_Ц, N_Д - соответственно целая и дробная часть числа.

Для приведенного примера: N_Ц =123 и N_Д=0,456.

2.2.2. Двоичная система счисления.

Наиболее простой из позиционных систем счисления является двоичная. Двоичная система счисления – это такая система счисления, для записи чисел в которой используются два цифровых знака 0 и 1. Основанием системы является цифра два, которая в двоичной системе счисления записывается двумя цифрами 10₍₂₎.

В двоичной системе счисления для представления чисел требуется больше разрядов, чем в десятичной или любой другой. Однако двоичная система нашла широкое применение в ЭВМ. Это объясняется тем, что для изображения чисел в машине можно использовать радиотехнические элементы, имеющие два устойчивых состояния. Действительно, в технике очень широко применяются бистабильные элементы и процессы:

цепь замкнута - цепь разомкнута;

ток протекает - ток не протекает;

напряжение есть - напряжения нет;

высокий уровень напряжения или тока - низкий;

сердечник намагничен - сердечник размагничен и так далее.

Вторым достоинством двоичной системы счисления является простота выполнения арифметических операций.

Третьим достоинством является возможность применения алгебры логики, оперирующей с понятиями истинно (1), ложно (0).

Недостатком двоичной системы является трудность перехода от двоичной системы счисления к привычной нам десятичной системе и обратно.

		n
N(2)	=	∑ Ki 2i ,	где
		i=m

m – может принимать значения -1, -2, -3, …

n – может принимать значения 0, 1, 2, 3, …

k_i – может принимать значения 0 и 1.

Например, число: 1011,1101₍₂₎

эквивалентно десятичному числу:

N(10) = 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2 + 0*2^-3 + 1*2^-4 =

= 8+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 11,8125

Двоичная система счисления широко используется в автоматике и вычислительной технике из-за простоты технической реализации. Данная система счисления является основным машинным языком (внутренним языком ЭВМ), на котором в современных комплексах и средствах АСУ производится ввод информации (данных) в ЭВМ, осуществляется ее арифметическая и логическая обработка, хранение и вывод результатов.