2. Системы счисления, используемые в асу (кса).

2.1. Развитие систем счисления.

Часто решение задач даже не очень сложных представляет собой трудоемкий процесс. Такие задачи целесообразно решать на ЭВМ. Метод решения во многом зависит от технических средств, а «мозг» ЭВМ менее совершенен, чем человеческий, поэтому для решения задач с использованием ЭВМ требуются дополнительные условия.

Проанализируем «технологию» решения простой задачи - подсчета однородных предметов.

Допустим, на столе лежат спички. Необходимо определить их количество и записать:

одна спичка - I; еще одна спичка - I и так далее. Получится запись: IIIIIIIIIIII, где каждая спичка обозначена символом I. Подсчитаем количество I (единиц-символов спичек) и запишем это количество в обычной (привычной) для нас форме - 12 или по-другому - XII. Итак, 12 = XII = IIIIIIIIIIII, т.е. количество спичек записано в различной форме. Форма записи IIIIIIIIIIII очень громоздка; форма записи числа 12 наиболее удобна и привычна для нас.

В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались те или иные системы счисления. Системой счисления называют совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел.

С помощью системы счисления можно установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и так далее) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году - двенадцать.

Двенадцатеричная система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фунт - 12 дюймов) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсов).

В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Она, как и двенадцатиричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с, аналогично в системе измерения углов: 1 = 60’, 1’ = 60’’).

Существовали и другие записи цифр, в настоящее время почти забытые. Однако до сих пор встречается запись чисел с помощью букв латинского алфавита, например, на циферблатах часов, в книгах для обозначения глав или частей, на деловых бумагах для обозначения месяцев и так далее.

2.2. Системы счисления.

Под системой счисления принято понимать способ записи чисел цифровыми знаками (цифрами). Различают позиционные и непозиционные системы счисления. Самый простой способ записи чисел может быть представлен в виде выражения:

			n
А(D)	=	D1 + D2 +…+Dn	∑ Di,	где
			i=1

А(D) - запись числа А в системе счисления D;

Di - символы системы, образующие базу D = (D1,D2,...Di,...Dn).

По этому принципу построены непозиционные системы счисления.

Непозиционная система счисления - система, в которой значение цифры не зависит от её положения в ряду цифр, изображающих число. Принцип построения таких систем не сложен. Для их образования используются в основном операции сложения и вычитания. Например, система с одним символом - палочкой, встречалась у многих народов. Для изображения какого-либо числа в этой системе нужно записать количество палочек, равное данному числу. Эта система счисления неэффективна, так как при записи больших чисел очень велика. Другим примером непозиционной системы счисления является римская система, использующая набор следующих символов: I, V, X, L, C, D, M и т.д.

В этой системе существует отклонение от правила независимости значения цифры от положения в числе. В числах XL и LX символ X принимает два значения: в первом случае -10, а во втором +10. В общем случае системы счисления можно построить по следующему принципу:

где - запись числа в системе счисления с основанием B;

- цифры (символы) системы счисления с основанием B;

- базисы, или основания системы.

Позиционная система счисления – это система в которой значение каждой цифры, входящей в запись числа, зависит от её положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число. В позиционной системе один и тот же знак (символ) может принимать различные значения. Например, в десятичном числе 727,37 первая цифра справа означает семь сотых долей, третья - семь единиц, а пятая - семь сотен. Любая позиционная система счисления характеризуется основанием.

Основание (базис) q естественной позиционной системы счисления – есть количество знаков или символов, используемых для отображения чисел в данной системе.

Из этого определения следует, что возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления, так как за основание системы можно принять любое число: как положительное, так и отрицательное. Принимая за основание системы различные числа: 2, 3, 5, 8 и другие можно получить соответственно двоичную, третичную, пятеричную, восьмеричную и другие системы. При этом в любой из них, как и в десятичной системе, число будет представлять собой сумму степеней основания системы с соответствующими коэффициентами.

В технической литературе основание системы счисления записывают в следующих вариантах: N2 или N(10) , или N /8CC, или часто вообще опускают, если известно, о каком основании или о какой системе идет речь.

Пример: Число 1990,2009 представляет собой смешанную десятичную дробь. Поскольку основание системы счисления q = 10, то можно записать:

1990,2009(10)= 1*10³ + 9*10² + 9*10¹ + 0*10⁰ + 2*10^-1 + 0*10^-2 + 0*10^-3 + 9*10^-4

В комплексах средств автоматизации нашли применение непозиционные и позиционные системы счисления. В непозиционной системе счисления, например, выдается текущее значение азимута антенны в виде азимутальных импульсов МАИ (относительно ОС - отметки «север»).

Из позиционных систем счисления наиболее широкое применение в АСУ (КСА) нашли десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и двоично - десятичная системы счисления.