6. Правила выполнения арифметических операций над числами.

Арифметические операции с двоичными, восьмеричными и шестнадцатеричными числами осуществляются по тем же правилам, что и с десятичными числами, за исключением того, что переносы в следующие разряды производится при достижении значений 2, 8, 16, а не 10, как в десятичной системе.

Пример. Сложить числа 166₍₁₀₎ и 47₍₁₀₎ в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

перенос	1 111	11	1
1-е слагаемое	10100110	246	А6
2-е слагаемое	+101111	+57	+2F
результат	11010101	325	D5

Решение:

С целью упрощения конструкции ЭВМ любая математическая операция выполняется в виде определенной совокупности операций сложения. Для выполнения этого условия:

• вся числовая информация в памяти ЭВМ хранится в дополнительном коде;

• при необходимости (команды вычитания, деления) у числа меняется знак на обратный и формируется дополнительный код.

Сложение двоичных чисел со знаком в различных случаях может дать разные результаты, как это показано в табл. 1.9.

Таблица 1.9

Различные случаи сложения двоичных чисел со знаком.

Номер	Слагаемые и результат	Комментарий
1	15 X>0 , Y>0 , X+Y< 2 0.000011000111010 X=+1594 + 0.100010010011011 +Y=+17563 0.100101011010101 Z=+19157	Результат корректный
2	15 X>0 , Y>0 , X+Y 2 1.111100111000110 X=+17563 + 1.100101011010101 +Y=+19157 1.000111101110000 Z=-28816	При сложении положительных чисел отрицательный результат - ПЕРЕПОЛНЕНИЕ
3	15 X<0 , Y<0 , |X+Y|<2 1.111100111000110 X=-1594 +1.011101101100101 +Y=-17563 11.011010100101011 Z=-19157	Результат корректный, перенос из знакового разряда не учитывается
4	15 X<0 , Y<0 , |X|+|Y|2 1.011101101100101 X=-17563 +1.011010100101011 +Y=-19157 10.111000010010000 Z=+28816	При сложении отрицательных чисел получен положительный результат - ПЕРЕПОЛНЕНИЕ
5	X>0 , Y<0 , |X|>|Y| 0.100010010011011 X=+17563 +1.111100111000110 +Y= - 1594 10.011111001100001 Z=+15969	Результат корректный. Перенос из старшего разряда не учитывается
6	X>0 , Y<0 , |X|<|Y| 0.000011000111010 X= +1594 +1.011101101100101 +Y=-17563 1.100000110011111 Z=-15969	Результат корректный

В двух случаях (втором и четвертом) ограниченная разрядность чисел приводит к искажению не только величины, но и знака результата. Исправить положение можно, добавляя к результату или вычитая из него число:

2¹⁶ = 65536, но для этого необходимо иметь дополнительный объем памяти.

Поскольку в процессе работы комплексов средств автоматизации вероятность получения искаженных результатов не равна нулю, то в вычислительных машинах предусмотрены специальные аппаратные или программные средства, позволяющие обнаружить ошибку такого рода. Обнаружение ошибки производится путем анализа знаков слагаемых и результата. Разные знаки слагаемых или совпадение знаков слагаемых и знака результата свидетельствуют о корректности результата. В противном случае вычисления прерываются и формируется сигнал «Переполнение» (сигнал ).