4.2. Нормальная форма представления чисел с плавающим положением запятой.

В тех случаях, когда заранее известно, что машина будет оперировать и с достаточно большими и с достаточно малыми числами, используется нормальная форма представления чисел.

Она основывается на изображении чисел в виде:

А = + m *, + Р,

А =

q +P *

(+ m)

соответствующем записи

где q - основание системы счисления;

m - мантисса числа А;

Р - порядок (характеристика) числа А, - целое число.

МАНТИССА - последовательность цифр, изображающих число, причем подразумевается, что запятая фиксируется перед старшим разрядом, т. о. |М| < 1 (в дополнительном коде).

Положение запятой в мантиссе m определяется величиной порядка р. С изменением порядка в большую или меньшую сторону запятая соответственно перемещается влево или вправо, т.е. «плавает» в изображении числа. Поэтому такую форму представления чисел называют также формой с плавающей запятой.

В разрядной сетке машины с плавающим положением запятой число записывается в виде пары чисел + Р и + m.

Чтобы избежать неоднозначности изображения числа А, обычно вводят некоторые ограничения. Наиболее удобным с точки зрения использования ЭВМ ограничением является ограничение абсолютной величины мантиссы вида:

1/q  | m | < 1,

где q - основание системы счисления.

Форма представления чисел, для которой справедливо указанное условие, называется нормализованной формой представления чисел, а сами числа - нормализованными, в противном случае - ненормализованными.

Для двоичной системы счисления, где q = 2, разрядная сетка машины для представления чисел в нормальной форме разбивается на 4 группы. Формат машинного изображения числа с плавающей запятой должен содержать поля для знаковых разрядов мантиссы и порядка, также поля для мантиссы и порядка непосредственно. Пример изображения числа с плавающей запятой приведен на рис.2.

МАНТИССА

ПОРЯДОК

Знак мантиссы Знак порядка

Рис.2. Нормальная форма представления чисел.

Числа в ЦЭВМ всегда представляются в нормализованном виде, при этом первой значащей цифрой мантиссы является единица. Процесс приведения чисел к указанному виду называется нормализацией.

Пример. Записать в формате с плавающей запятой двоичные числа

А₁ = - 10011,1011 и А₂ = + 0,000101010111.

Прежде всего, эти числа необходимо записать в нормальной форме (нормализовать), т.е. привести мантиссы чисел к виду:

1/q  | m | < 1

Проведем операцию нормализации чисел:

Для первого числа А₁ эта операция будет означать сдвиг запятой на 5 двоичных разрядов влево (или уменьшение модуля мантиссы в 2⁺⁵ раз). Следовательно, для того, чтобы первоначальная величина числа А₁ не изменилась, полученную после операции сдвига запятой мантиссу нужно помножить на 2⁺⁵. После проведения нормализации первое число будет представлено в виде

А₁ = - 0,100111011 * 2⁺⁵.

Для второго числа А₂ операция нормализации означает сдвиг запятой на 3 двоичных разряда вправо (или увеличение модуля мантиссы в 2⁺³ раз). Следовательно, для того, чтобы первоначальная величина числа А₂ не изменилась, полученную после операции сдвига запятой мантиссу нужно помножить на 2^-3. После проведения нормализации второе число будет представлено в виде

А₂ = + 0,101010111*2^-3.

Основываясь на формате нормализованных чисел, приведенном на рис.2 и ограничим количество разрядов, отведенных под значение мантиссы, 9-ю, а под значение порядка - 5-ю двоичными разрядами. В результате окончательная запись этих чисел в формате с фиксированной запятой будет выглядеть следующим образом:

[A₁]n = 11 100111011 00 00101

[A₂]n = 00 101010111 11 00011

Оценим диапазон двоичных чисел представленных в ЦЭВМ с плавающей запятой. Пусть разрядная сетка имеет R рядов мантиссы и М разрядов порядка. Тогда

м	м	м
А min = 0,10…00 х 2 –11…1	= 2 –1 х 2 – (2 -1) =	2-2

^R

м	м	м
А max = 0,11…11 х 2 +11…1	= (1 - 2 –м ) х 2 (2 -1) =	2 2

^R

Таким образом, диапазон чисел лежит в пределах

м		м
2 –2 ≤	А (2)	< 2 2

Из формулы видно, что практически диапазон чисел зависит только от количества разрядов порядка.

При сравнительно небольших количествах разрядов, отводимых на мантиссы и порядки, нормальная форма обеспечивает весьма широкий диапазон представления чисел. Поэтому вычисления с плавающей запятой очень удобны для задач, при решении которых часто приходится иметь дело с величинами, изменяющимися в больших пределах. Широкий диапазон представления позволяет в подавляющем большинстве случаев решать задачи, не прибегая к масштабированию используемых в них математических величин.

Машинный нуль в разрядной сетке для чисел с плавающей запятой соответствует числам

	м
А min ≤	2-2

Если же во всех разрядах (и мантиссы, и порядка) стоят нули, то это число называется истинным нулем.