3.5. Использование промежуточной системы счисления.
Использование промежуточной системы счисления применяют, как правило, при переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. В качестве промежуточных систем используются обычно восьмеричная или шестнадцатеричная система счисления.
Это объясняется тем, что восьмеричная система связана с двоичной соотношением:
8k = (2)3k ;
а шестнадцатеричная с двоичной соотношением:
(16)k = (2)4k .
Поэтому перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную осуществляется простой заменой каждой восьмеричной цифры ее трехразрядным двоичным эквивалентом, называемым триадой. Аналогично перевод из шестнадцатеричной системы счисления осуществляется заменой каждой цифры четырехразрядным эквивалентом, именуемым тетрадой.
При переводе пользуются справочными таблицами (табл.1.7 и табл.1.8).
Таблица 1.7
Двоичные эквиваленты восьмеричных цифр.
-
Восьмеричная цифра
Двоичный эквивалент
Восьмеричная цифра
Двоичный эквивалент
0
000
4
100
1
001
5
101
2
010
6
110
3
011
7
111
Таблица 1.8
Двоичные эквиваленты шестнадцатеричных цифр.
Шестнадцатеричная цифра |
Двоичный эквивалент |
Шестнадцатеричная цифра |
Двоичный эквивалент |
0 |
0000 |
8 |
1000 |
1 |
0001 |
9 |
1001 |
2 |
0010 |
A |
1010 |
3 |
0011 |
B |
1011 |
4 |
0100 |
C |
1100 |
5 |
0101 |
D |
1101 |
6 |
0110 |
E |
1110 |
7 |
0111 |
F |
1111 |
Пример. Перевести в двоичную систему счисления число 1389(10).
Решение: Использовать в качестве промежуточной системе счисления восьмеричную или шестнадцатеричную систему способом деления на основание. Запись вести в столбик, где оправа от вертикальной черты записываются остатки деления на каждом шаге, а слева - целая часть частного.
-
1389
5
мл. разр.
1389
13 = D
1
735
86
6
21
5
5
5
2
2
ст. разр.
1389(10) = 2555(8) = 56D(16)
1389(10) = |
2555(8) = |
2 |
5 |
5 |
5 |
|
|
010. |
101. |
101. |
101(2) |
1389(10) = |
56D(16) = |
|
5 |
6 |
D |
|
|
|
0101. |
0110. |
1101(2) |
Результат: 1389(10) = 10101101101(2).
Пример. Перевести двоичное число А = 10110,1001 в десятичную систему счисления с использованием промежуточной восьмеричной системы счисления.
Решение: Разделить двоичное число на триады влево и вправо от запятой:
10110,1001(2) = |
010 |
110 |
, |
100 |
100 |
|
|
2 |
6 |
, |
4 |
4 |
|
10110,1001(2) = |
26, |
44(8) |
|
|
|
|
26 |
12 |
|
1-й разряд - |
0.44 |
-24 |
2 |
|
|
х 12 |
2 |
|
|
2-й разряд - |
5.50 |
|
|
|
|
х 12 |
|
|
|
3-й разряд - |
6.2 |
|
|
|
|
х 12 |
|
|
|
4-й разряд - |
2.4 |
|
|
|
|
х 12 |
|
|
|
5-й разряд - |
5.0 |
26(8) = 22(10)
0,44(8) = 0,5625(10)
Результат: 10110,1001(2) = 22,5625(10).
При использовании в качестве промежуточных систем счисления систем с основанием q = 2ª существенно упрощается процедура перевода чисел из используемой промежуточной системы счисления в двоичную и наоборот. Преобразование сводится к тому, что символы первоначальной информации, заданной в системе с основанием q = 2ª, заменяются соответствующими двоичными эквивалентами (см. табл. 1.7 и табл. 1.8). Обратное преобразование из двоичной системы в систему с основанием q = 2ª сводится к тому, что двоичный код разбивается на группы по R двоичных разрядов в каждой (начиная от младших разрядов для целых чисел или с первого разряда после запятой для правильных дробей); эти группы (диады, триады, тетрады, пентады, и так далее) заменяются соответствующими символами исходной системы счисления.
Этот способ широко используется в современных вычислительных машинах для ускорения процесса преобразования чисел в различных системах счисления.