3. Прогнозування основного техніко-економічного показника

3.1 Прогнозування методом найменших квадратів

Прогнозування показника проводимо за прямою та параболою.

Рівняння прямої має вигляд: y = а  b * t (1.10)

Рівняння параболи має вигляд: y = а  b * t + c * t² (1.11)

де а, b, c – вільні члени, t - умовний період.

Для знаходження коефіцієнтів а та b для рівняння прямої необхідно скласти та розв’язати наступну систему рівнянь:

{

{

a*n = yi b*tі2 = tі*yi

(1.12)

де n – кількість періодів,

у_і – фактичне значення показника, що прогнозується (і = 1…n), (табл.1.1).

Метод найменших квадратів (метод екстраполяції)

При побудові моделі року певного періоду умовно позначаємо через t і замінюємо їх так,щоб їх сума дорівнювала нулю. Тобто, рік, який знаходиться в середині аналізованого періоду, позначаємо за нуль, а роки, що йдуть від нього в минуле – від’ємними числами(-1,-2), в майбутнє – додатними числами(1,2).

На основі проведених розрахунків здійснюється прогнозування аналізованого показника на два найближчих роки застосовують вирівнювання методом найменших квадратів. Вирівнювання ряду динаміки здійснюємо по двом лініях: прямій і параболі.

Рівняння прямої:

у = а + bt, (1.13)

а,b-параметри рівняння прямої.

Для вирівнювання по прямій використовуємо систему рівнянь:

, (1.14)

Звідси,

, (1.15)

, (1.16)

Якщо ж t=0, то

, (1.17)

, (1.18)

Рівняння параболи

, (1.19)

Для вирівнювання по параболі використовуємо систему рівнянь:

, (1.20)

Звідси:

, (1.21)

, (1.22)

, (1.23)

а, b, с - параметри рівняння параболи.

Для оцінки ступеня адекватності моделей необхідно знайти величину абсолютних відхилень фактичних значень від теоретичного рівня. Та модель, якій відповідає найменша сума середньоквадратичних відхилень, може бути визнана найадекватнішою. На її основі необхідно розрахувати прогнозне значення аналізованого показника на наступний період.

Для знаходження коефіцієнтів а, b, с для рівняння параболи складемо та розв’яжемо наступну систему рівнянь:

{

{

a*n + с*tі2 = yi b*tі2 = tі*yi а*tі2 + с*tі4 = tі2*yi

(1.24)

Для розв’язку вище наведених систем рівнянь складемо таблицю 1.3.

Розв’язавши системи рівнянь, записуємо рівняння прямої та параболи. Почергово підставляючи в знайдені рівняння значення t_і, шукаємо теоретичні значення показника (у_і^т) за прямою та параболою. Результати розрахунків зводимо у таблицю 1.4.

Таблиця 1.3 – Вихідні дані для розв’язку системи рівнянь прямої та параболи

Період, ni	Фактичне значення показника, уф	Умовний період, t	t2	t*y	t2*y	t4
1	52	- 2	4	- 104	208	16
2	60	- 1	1	- 60	60	1
3	58	0	0	0	0	0
4	66	1	1	66	66	1
5	67	2	4	134	268	16
Сума	303	0	10	36	602	34

На підставі таблиці 1.3 знаходимо значення коефіцієнтів a, b для прямої та a,b,c для параболи.

Визначаємо коефіцієнт a для прямої за формулою (1.17)

a = 303/5 = 60,6

Визначаємо коефіцієнт b для прямої за формулою (1.18)

b = 36/10 = 3,6

Тоді рівняння прямої буде мати вигляд:

y = 60.6 + 3.6*t

На основі рівняння прямої визначаємо теоретичні значення за 5 років

1: y₁ = 60.6 + 3.6*(-2) = 53.4%

2: y₂ = 60.6 + 3.6*(-1) = 57%

3: y₃ = 60.6 + 3.6*0 = 60.6%

4: y₄ = 60.6 + 3.6*1 = 64.2%

5: y₅ = 60.6 + 3.6*2 = 67.8%

Визначаємо коефіцієнт а для параболи за формулою (1.21)

а = (34*303 – 602*10)/(5*34-10*10) = 61,17

Визначаємо коефіцієнт b для параболи за формулою (1.22)

b = 36/10 = 3.6

Визначаємо коефіцієнт c для параболи за формулою (1.23)

c = (5*602 – 303*10)/(5*34 – 10*0) = -0.12

Тоді рівняння параболи буде мати вигляд:

y = 61.17 + 3.6*t – 0.12*t²

На основі рівняння параболи визначаємо теоретичні значення за 5 років

1: y₁ = 61.17 + 3.6*(-2) – 0.12*4 = 53.49%

2: y₂ = 61.17 + 3.6*(-1) – 0.12*1 = 57.45%

3: y₃ = 61.17 + 3.6*0 – 0.12*0 = 61.17%

4: y₄ = 61.17 + 3.6*1 + 0.12*1 = 64.89%

5: y₅ = 61.17 + 3.6*2 + 0.12*4 = 68.85%