Основні теоретичні факти.

Нехай у просторі пряма та площина задані рівняннями:

: , : ^.

Пряма буде паралельною до площини , якщо вектор , який паралельний до прямої, буде одночасно паралельним до площини, тобто якщо виконується рівність

. (1)

Дане співвідношення виражає необхідну і достатню умови паралельності прямої та площини. Якщо, крім умови (1), точка прямої належить площині , тобто виконується рівність

,

то пряма належить площині . При умові

пряма та площина перетинаються. При необхідності їх точку перетину можна знайти, розв’язавши відповідну систему рівнянь.

Н ехай система координат прямокутника декартова та пряма перетинає площину. Якщо при цьому вектор , який паралельний до прямої , та вектор який перпендикулярний до площини , будуть колінеарними, тобто, якщо виконуються рівності

,

то пряма буде перпендикулярною до площини (рис. 1).

Нехай пряма не перпендикулярна до площини . Для відшукання кута між прямою та площиною, тобто гострого кута між прямою та її ортогональною проекцією на площину (на рис. 2 - це кут між прямими та ) використовують вектори та . Позначивши кут між ними через , отримуємо

.

Оскільки у випадку, коли кут - гострий та , якщо кут -тупий, то в обох випадках дістаємо звідки

.

Рівняння ортогональної проекції похилої на площину (прямої ) можна отримати у вигляді системи рівнянь двох площин, одною з яких є площина , а другою – площина, яка містить пряму та проходить перпендикулярно до . ЇЇ рівняння запишеться у виді

,

оскільки вона паралельна до векторів і та містить точку

Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Знайти точку, симетричну до точки відносно площини , заданої рівнянням .

Розв’язання. Складемо параметричні рівняння прямої , яка перпендикулярна до площини Для цього використаємо точку та вектор , який, будучи перпендикулярним до площини , буде паралельним до прямої (рис. 3). Дістаємо

.

Розв’язуючи систему рівнянь

,

знаходимо , Знайдена точка є точкою перетину прямої із заданою площиною. Нехай - точка, симетрична точці відносно площини . Тоді точка буде серединою відрізка . Із рівностей дістаємо .

Відповідь. .

Задача 2. Знайти точку, яка симетрична до точки відносно прямої .

Розв’язання. Один із способів розв’язання поставленої задачі розглянуто у попередній темі. Зупинимося на іншому. Запишемо рівняння площини, яка проходить через точку та проходить перпендикулярно до заданої прямої. Використавши напрямний вектор прямої та точку , отримаємо її рівняння у виді або . Знайдемо точку перетину знайденої площини із заданою прямою. Записавши рівняння останньої у параметричному виді, отримуємо систему

,

з якої знаходимо шукану точку перетину . Для відшукання точки , яка симетрична до точки відносно точки , отримуємо співвідношення , звідки .

Відповідь. .

.

Задача 3. На якій відстані від початку координат проходить пряма : ?

Розв’язання. Проведемо через точку площину перпендикулярно до заданої прямої та знайдемо точку перетину прямої із . Вектор , який паралельний до прямої , буде перпендикулярним до . Тому рівняння запишеться у виді Запишемо рівняння прямої у параметричному виді та розв’яжемо систему рівнянь

Дістаємо . Отже, . Довжина відрізка є шуканою відстанню.

Відповідь. .

Задача 4. Скласти рівняння площини, що проходить паралельно до прямих , та однаково віддалена від них.

Розв’язання. Очевидно, що перша пряма визначається точкою та напрямним вектором , а друга - точкою та напрямним вектором . Шукана площина буде паралельною до цих векторів та проходитиме через середину відрізка - точку . Її рівняння запишемо у виді або .

Відповідь. .

Задача 5. На прямій знайти точку, рівновіддалену від точок та .

Розв’язання. Через середину відрізка - точку проведемо площину перпендикулярно до вектора . ЇЇ рівняння запишеться у виді або . Всі точки цієї площини рівновіддалені від точок та . Знайдемо точку перетину одержаної площини із заданою прямою. Для цього розв’яжемо систему рівнянь . Дістаємо .

Відповідь. .

Задача 6. Промінь світла виходить із точки та в напрямку вектора падає на дзеркальну площину . Скласти рівняння відбитого від площини променя.

Розв’язання. Знайдемо точку перетину падаючого променя з площиною. Для цього розв’яжемо систему рівнянь . Дістаємо . Таким чином, початок відбитого променя знаходиться у точці . Щоб визначити його напрям, знайдемо точку , симетричну до точки відносно заданої площини. Пряма проходить через точку перпендикулярно до заданої площини. Із системи знаходимо . Використовуючи знайдену точку перетину , знаходимо точку . Оскільки є серединою відрізка , то виконуються рівності , звідки . Тепер можна знайти напрям відбитого променя. Він задається вектором . У параметричних рівняннях прямої : точці , яка не належить шуканому променю, відповідає значення параметра , а точці - значення . Тому щоб виділити з усіх точок прямої тільки точки відбитого променя накладемо додаткову умову .

Відповідь. .

Задача 7. Скласти рівняння ортогональної проекції прямої , заданої канонічним рівнянням на площину , задану рівнянням ^.

Розв’язання. Скористаємось вектором який перпендикулярний до площини та вектором , який паралельний до прямої . Дані вектори не колінеарні, тому пряма не перпендикулярна до , отже її проекцією буде деяка пряма . Другу площину , якій належить s, проведемо через пряму , перпендикулярно до . Очевидно, що площина проходить через точку , яка належить прямій і паралельна до векторів та . Скориставшись співвідношенням (2), дістаємо рівняння площини :

,

звідки , або, остаточно, Шукане рівняння прямої подамо у виді (10), як перетин площин та .

Відповідь.