Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Знайти відстань між діагоналями та граней куба , ребро якого дорівнює 1. Які точки вказаних діагоналей знаходяться на знайденій відстані?

Р озв’язання. Нехай заданий куб. Виберемо систему координат у виді репера (рис. 3). Очевидно, що кінці заданих діагоналей мають координати , , , і , . Складемо рівняння площини , яка проходить через діагональ паралельно до прямої . Дістаємо

: або .

Відстань між діагоналями куба тепер можна знайти за допомогою співвідношення (6):

.

Щоб дати відповідь на другу частину задачі, складемо рівняння двох площин та , які проходять перпендикулярно до та містять діагоналі та . При цьому використовуємо перпендикулярний до вектор . Маємо

: ,

: .

Система рівнянь визначає спільний перпендикуляр до прямих та . Він перетинає діагональ у точці, для якої . Використавши цей факт, знаходимо . Ця ж пряма перетинає діагональ у точці з абсцисою Звідси . Можна переконатися, що відстань між одержаними точками дорівнює .

Задача 2. Як розташовані в просторі прямі та ?

Розв’язання. Знайдемо два довільні розв’язки системи, яка задає першу пряму. Нехай вони визначають точки та . Друга пряма задається точкою та напрямним вектором . Обчислимо мішаний добуток векторів , та .

.

Отже, прямі лежать в одній площині. Оскільки їхні напрямні вектори ( та ) не колінеарні, то прямі перетинаються.

Задача 3. Знайти відстань між прямими та .

Розв’язання. Перший спосіб. Очевидно, що задані прямі паралельні, оскільки їхні напрямні вектори та колінеарні. Першій прямій належить точка , а другій – точка . Відстань між прямими знайдемо як висоту паралелограма, побудованого на векторах та , яка проведена до сторони, паралельної до (рис. 4). Площу паралелограма знайдемо за допомогою векторного добутку:

.

Оскільки , то .

Другий спосіб. Через точку проведемо площину, перпендикулярну до заданих прямих. ЇЇ рівняння запишеться у виді або . Знайдемо точку перетину цієї площини з другою прямою. Із системи дістаємо . Відстань від знайденої точки до точки буде шуканою. Дістаємо

.

З адача 4. В основі чотирикутної піраміди лежить ромб із діагоналями 6 та 8. Висота піраміди дорівнює 5. Знайти відстань між мимобіжними більшим бічним ребром та стороною основи.

Розв’язання. Нехай - задана піраміда. Будемо шукати відстань між ребрами та . Виберемо систему координат так, як зображено на рисунку 3. Згідно з умовою задачі, отримуємо , , , і , . Складемо рівняння площини , яка проходить через ребро паралельно до прямої . Дістаємо

:

або .

Відповідь на задачу отримуємо, знайшовши відстань від точки до площини :

.

Задача 5. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку та перетинає прямі , .

Розв’язання. Візьмемо на першій прямій точку та на другій прямій – точку , положення яких змінюється при зміні параметрів та . Підберемо ці параметри так, щоб точки належали одній прямій. Із колінеарності векторів , отримуємо рівності

,

звідки, ввівши заміну , дістаємо систему лінійних рівнянь

.

Додаючи до першого рівняння системи два інші, дістаємо . Це дозволяє знайти точку та записати відповідь у вигляді рівняння прямої, що проходить через точку у напрямку вектора .

Відповідь. .

Задача 6. Знайти точку, яка симетрична до точки відносно прямої .

Розв’язання. Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку та перетинає задану пряму під прямим кутом. Запишемо її рівняння у виді (ми вибираємо напрямний вектор прямої з першою координатою 1, передбачаючи перспективу розгляду випадку, коли вона дорівнює 0). Позначимо через точку на заданій прямій. Умову перетину прямих запишемо у виді рівності 0 мішаного добутку векторів , та . Дістаємо . Звідси . Умова перпендикулярності прямих, записана у виді , дозволяє отримати співвідношення . Із системи рівнянь знаходимо .

Запишемо рівняння знайденої прямої у параметричному виді та знайдемо точку, в якій вона перетинає задану пряму. Із системи дістаємо та шукану точку перетину . Для відшукання точки , яка симетрична до точки відносно точки , отримуємо співвідношення , звідки .

Відповідь. .