
Приклади розв’язання задач.
Задача 1. Знайти відстань між
діагоналями
та
граней куба
,
ребро якого дорівнює 1. Які точки вказаних
діагоналей знаходяться на знайденій
відстані?
Р
озв’язання.
Нехай
заданий куб. Виберемо систему координат
у виді репера
(рис. 3). Очевидно, що кінці заданих
діагоналей мають координати
,
,
,
і
,
.
Складемо рівняння площини
,
яка проходить через діагональ
паралельно до прямої
.
Дістаємо
:
або
.
Відстань
між діагоналями куба тепер можна знайти
за допомогою співвідношення (6):
.
Щоб дати відповідь на другу частину
задачі, складемо рівняння двох площин
та
,
які проходять перпендикулярно до
та містять діагоналі
та
.
При цьому використовуємо перпендикулярний
до
вектор
.
Маємо
:
,
:
.
Система рівнянь
визначає спільний перпендикуляр до
прямих
та
.
Він перетинає діагональ
у точці, для якої
.
Використавши цей факт, знаходимо
.
Ця ж пряма перетинає діагональ
у точці з абсцисою
Звідси
.
Можна переконатися, що відстань між
одержаними точками дорівнює
.
Задача 2. Як розташовані в
просторі прямі
та
?
Розв’язання. Знайдемо два
довільні розв’язки системи, яка задає
першу пряму. Нехай вони визначають точки
та
.
Друга пряма задається точкою
та напрямним вектором
.
Обчислимо мішаний добуток векторів
,
та
.
.
Отже, прямі лежать в одній площині.
Оскільки їхні напрямні вектори (
та
)
не колінеарні, то прямі перетинаються.
Задача 3. Знайти відстань між
прямими
та
.
Розв’язання. Перший спосіб.
Очевидно, що задані прямі паралельні,
оскільки їхні напрямні вектори
та
колінеарні. Першій прямій належить
точка
,
а другій – точка
.
Відстань
між прямими знайдемо як висоту
паралелограма, побудованого на векторах
та
,
яка проведена до сторони, паралельної
до
(рис. 4). Площу паралелограма знайдемо
за допомогою векторного добутку:
.
Оскільки
,
то
.
Другий спосіб. Через точку
проведемо площину, перпендикулярну до
заданих прямих. ЇЇ рівняння запишеться
у виді
або
.
Знайдемо точку перетину цієї площини
з другою прямою. Із системи
дістаємо
.
Відстань від знайденої точки до точки
буде шуканою. Дістаємо
.
З
адача
4. В основі чотирикутної піраміди
лежить ромб із діагоналями 6 та 8. Висота
піраміди дорівнює 5. Знайти відстань
між мимобіжними більшим бічним ребром
та стороною основи.
Розв’язання. Нехай
- задана піраміда. Будемо шукати
відстань між ребрами
та
.
Виберемо систему координат так, як
зображено на рисунку 3. Згідно з умовою
задачі, отримуємо
,
,
,
і
,
.
Складемо рівняння площини
,
яка проходить через ребро
паралельно до прямої
.
Дістаємо
:
або
.
Відповідь на задачу отримуємо, знайшовши відстань від точки до площини :
.
Задача 5. Скласти рівняння
прямої, яка проходить через точку
та перетинає прямі
,
.
Розв’язання. Візьмемо на
першій прямій точку
та на другій прямій – точку
,
положення яких змінюється при зміні
параметрів
та
.
Підберемо ці параметри так, щоб точки
належали одній прямій. Із колінеарності
векторів
,
отримуємо рівності
,
звідки, ввівши заміну
,
дістаємо систему лінійних рівнянь
.
Додаючи до першого рівняння системи
два інші, дістаємо
.
Це дозволяє
знайти точку
та записати відповідь у вигляді рівняння
прямої, що проходить через точку
у напрямку вектора
.
Відповідь.
.
Задача 6. Знайти точку, яка симетрична до точки відносно прямої .
Розв’язання. Знайдемо
рівняння прямої, яка проходить через
точку
та перетинає задану пряму під прямим
кутом. Запишемо її рівняння у виді
(ми вибираємо напрямний вектор прямої
з першою координатою 1, передбачаючи
перспективу розгляду випадку, коли вона
дорівнює 0). Позначимо через
точку на заданій прямій. Умову перетину
прямих запишемо у виді рівності 0 мішаного
добутку векторів
,
та
.
Дістаємо
.
Звідси
.
Умова перпендикулярності прямих,
записана у виді
,
дозволяє отримати співвідношення
.
Із системи рівнянь
знаходимо
.
Запишемо рівняння знайденої прямої у
параметричному виді
та знайдемо точку, в якій вона перетинає
задану пряму. Із системи
дістаємо
та шукану точку перетину
.
Для відшукання точки
,
яка симетрична до точки
відносно точки
,
отримуємо співвідношення
,
звідки
.
Відповідь.
.