Задачі для самостійного розв’язання.

1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку і паралельна векторам та .

.

2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки , та паралельна вектору .

.

3. Скласти рівняння площини, яка проходить через вісь та точку .

.

4. Знайти рівняння площини, яка проходить через точки , та .

.

5. Знайти рівняння площини, яка проходить через точки , та .

.

6. Перевірити, чи можна провести площину через точки:

а) , , ;

б) , , .

а) ні; б) так.

7. Встановити, які з векторів , , , паралельні до площини ?

та паралельні, а та не паралельні до заданої площини.

8. Скласти рівняння площин, які проходять через точку та відсікають на координатних осях відрізки однакової довжини.

, , .

9. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку та перпендикулярна до вектора .

.

10. Дано вершини тетраедра , , та . Скласти:

а) рівняння площини, що проходить через ребро паралельно до ребра ;

б) рівняння площини, що проходить через точку паралельно до грані .

а) б) .

11. Скласти рівняння площин, які:

а) проходять через точку паралельно до координатних площин;

б) проходять через точки паралельно до координатних осей;

в) проходять через точку та через кожну із координатних осей.

а) ; б) ; в) , .

12. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки та і перпендикулярна до площини .

.

13. Скласти рівняння площини, яка проходить через лінію перетину площин і перпендикулярно до площини .

.

14. Скласти рівняння площини, яка проходить перпендикулярно до площини .і перетинає її по прямій, яка лежить у площині .

.

15. Скласти рівняння площини, яка проходить через лінію перетину площин і паралельно до осі .

.

16. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку та перпендикулярна до площин і .

.

Знайти множину точок, рівновіддалених від точок та .

.

17. Скласти рівняння площини, яка дотикається до сфери у точці .

.

18. Скласти рівняння площини, яка дотикається до сфери у точці .

.

19. Охарактеризуйте особливості розміщення площин по відношенню до системи координат:

а) ; г) ; є) ;

б) ; д) ; ж) ;

в) ; е) ; з) .

Відповідь. а) паралельна до осі ; б) проходить через початок координат; в) паралельна до осі ; г) проходить через вісь ; д) паралельна до площини ; е) паралельна до осі ; є) паралельна до площини ; ж) проходить через вісь ; з) площина .

20. Охарактеризуйте взаємне розміщення площин:

а) ;

б) .

Відповідь. а) паралельні, б) перпендикулярні.

21. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку та паралельна до площини .

.

22. Довести, що площини та перетинаються в одній точці та знайти її координати.

.

23. Довести, що площини та перетинаються по одній прямій та знайти її рівняння.

.

24. При яких значеннях параметрів та площини , та перетинаються по одній прямій?

.

25. Як розташовані в просторі площини та ?

Перетинаються по трьох паралельних прямих.

26. Знайти відстань від точки до площини, яка проходить через точки , .

Відповідь. 8.

27. Знайти відстань від точки до площини, яка проходить через точки , .

Відповідь. 2.

28. Знайти кут між площинами .

Відповідь. .

29. Знайти кут між площинами .

Відповідь. .

30. Задана площина . Вказати, які з наведених нижче пар точок розташовані по одну сторону відносно даної площини: а) і ; б) і ; в) і ; г) і .

і , і .

31. Площина яка проходить через точки , та . Задати аналітично множину точок півпростору, обмеженого даною площиною, знаючи, що йому належить точка .

.

32. Задані дві паралельні площини та . Задати аналітично множину точок, розташованих між даними площинами.

.

33. Дві площини та розбивають простір на чотири двогранні кути. Задати аналітично множину точок того кута, якому належить точка .

.

34. Встановити взаємне розташування площини та сфери .

Не мають спільних точок.

35. Довести, що площина і сфера перетинаються та знайти радіус кола перетину.

.

36. Через лінію перетину площин та провести площину, яка дотикається до сфери .

, .

37. Знайти відстань між паралельними площинами:

а) та ;

б) та .

а) 2, б) .

38. На осі знайти точку, рівновіддалену від точки та площини .

.

39. На осі знайти точку, рівновіддалену від площин та .

.

40. Скласти рівняння множини точок, віддалених від площини на відстані 2.

Дві площини та .

41. Написати рівняння сфери, центр якої лежить на осі і яка дотикається до площин , .

.

42. Знайти координати центра кулі, радіус якої , знаючи, що вона вписана в той тригранний кут, який утворений площинами , та і якому належить точка .

.

43. Написати рівняння площин, які ділять пополам двогранні кути, утворені при перетині площин та .

та .

44. У трикутній піраміді SABC ребра SA, SB та SC взаємно перпендикулярні та рівні відповідно . Знайти радіус кулі, вписаної в цю піраміду.

.

45. Через сторону основи правильної чотирикутної піраміди проведено площину, яка проходить через середину ребра . Знайти відстань від вершини до даної площини, якщо довжина сторони основи рівна , а висота піраміди дорівнює .

.

46. Довжина ребра куба дорівнює 4. Площина проходить через діагональ і перетинає куб по трапеції . Знайти відстань від вершини до даної площини, якщо .

.

Практичне заняття №11. Різні способи задання прямої в просторі. Взаємне розташування двох прямих.