Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Зобразити лінію перетину площин та .

Р озв’язання. Зобразимо площину . Для цього знайдемо точки та її перетину з осями та . Оскільки || (у рівнянні площини відсутня змінна ), то, провівши через точки та прямі та паралельно до осі , дістанемо зображення площини . На осі знаходимо точку , яка належить площині , і через неї проводимо прямі та . Точка і прямі та визначають площину . Точка перетину прямих та належить шуканій прямій перетину площин, оскільки обидві прямі лежать в одній площині (площині ) і перетинаються. Аналогічно, точка перетину прямих та , які лежать в площині , теж належить лінії перетину. Таким чином, шуканою прямою є пряма (рис. 6).

Задача 2. Три грані куба з ребром 1 належать координатним площинам. Побудувати переріз куба площиною .

Розв’язання. Зобразимо заданий куб та площину , побудувавши на осях точки (рис. 7). Знаходимо точку перетину прямих та (обидві прямі лежать в площині ) та точку P перетину прямих та . Пряма PN лежить у площині та в площині і перетинає ребра верхньої грані куба в точках R та S. Тепер знаходимо точку перетину прямих та і проводимо пряму , яка перетне ребро у деякій точці T.

Відповідь. Трикутник .

Задача 3. У трикутній піраміді SABC ребра SA, SB та SC взаємно перпендикулярні та рівні відповідно . Обчислити довжину висоти піраміди SH.

Розв’язання. Введемо прямокутну систему координат, вибравши початок координат в точці та вибравши за напрямки осей відповідно напрямки променів SA, SB та SC. Оскільки на осях та площина ABC відтинає відповідно відрізки та , то її рівняння запишеться у виді . Скориставшись формулою (1), одержуємо довжину висоти SH, як відстань від точки до площини (ABC):

.

З адача 4. У трикутній піраміді SABC ребра SA, SB та SC взаємно перпендикулярні та рівні відповідно . Знайти довжину ребра куба, вписаного в цю піраміду, знаючи, що три грані куба належать граням піраміди.

Розв’язання. Введемо прямокутну систему координат, вибравши початок координат в точці та вибравши за напрямки осей відповідно напрямки променів SA, SB та SC. Оскільки на осях та площина ABC відтинає відповідно відрізки та , то її рівняння запишеться у виді . Оскільки координати вершини куба, яка належить площині (ABC) (на рис.7 - це точка ), задовольняють одержане рівняння, то виконується рівність . Звідси .

Задача 5. Визначити, на якій відстані від початку координат проходить площина , задана рівнянням .

Розв’язання. Користуючись рівністю (7), дістаємо

Задача 6. Встановити, чи відрізок, кінці якого знаходяться в точках та , перетинає площину, задану рівнянням ?

Розв’язання. Визначимо знак виразу для кожної із заданих точок. Знаходимо , . Оскільки обидві точки розташовані в одному півпросторі, то відрізок площину не перетинає.

Задача 7. Скласти рівняння площини, яка проектує пряму на площину , задану рівнянням .

Розв’язання. Очевидно, що проектуюча площина паралельна до векторів та , перший з яких паралельний до заданої прямої, а другий перпендикулярний до площини . Крім цього, площина повинна проходити через точку , яка належить прямій. Рівняння шуканої площини запишемо у вигляді визначника

.

Після очевидних обчислень дістаємо шукане рівняння у виді .

Відповідь. .