6. Определение первоначального допустимого базисного решения

При выборе первоначального базисного решения рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

1. Если каждая дополнительная переменная входит в уравнение с тем же знаком, что и свободный член, стоящий в правой части уравнения, то дополнительные переменные можно брать в качестве основных на первом шаге (см. Пример 2).

2. Если первое базисное решение получилось недопустимым (например, в качестве основных взяты дополнительные переменные и хотя бы одна из них входила в уравнение со знаком, противоположным знаку свободного члена), то следует рассмотреть уравнение, содержащее отрицательный свободный член и перевести в основные ту неосновную переменную, которая входит в это уравнение с положительным коэффициентом. Такие шаги повторяются до тех пор, пока не будет получено допустимое базисное решение (см. Пример 3).

3. Если базисное решение недопустимое, а в уравнении, содержащем отрицательный свободный член, отсутствует переменная с положительным коэффициентом, то в этом случае допустимое базисное решение получить нельзя из-за противоречивости условий задачи.

Пример 4. К условиям задачи из примера 1 добавим требование выпустить продукцию вида Р₁ в количестве не менее 5 единиц.

Построим математическую модель задачи.

Найти значения переменных х₁, х₂, удовлетворяющие условиям:

(2.19)

при которых целевая функция принимает максимальное значение.

Приведем систему к каноническому виду введением дополнительных переменных: ,

(2.20)

В качестве базисных переменных выберем дополнительные переменные . Из каждого уравнения выразим базисные переменные через неосновные:

(2.21)

Первоначальное базисное решение является недопустимым: . Можно перевести в базис переменную х₁. Выразив её из последнего уравнения, и подставляя в остальные уравнения и целевую функцию, получим:

(2.22)

Полученное базисное решение снова является недопустимым: . При этом в уравнении, содержащем отрицательный свободный член, отсутствует переменная с положительным коэффициентом. Т.е. в этом случае допустимое базисное решение получить нельзя из-за противоречивости условий задачи. Действительно, если вспомнить оценочные отношения, вычисленные нами на первом шаге при решении примера 1, то увеличивать переменную х₁ можно было только до 4.

7. Особые случаи симплексного метода

1. Неединственность оптимального решения

О такой ситуации говорит тот факт, что в последнем выражении для целевой функции выполняется критерий оптимальности, но при этом хотя бы при одной неосновной переменной коэффициент равен нулю. Эта переменная может принимать любые допустимые значения, непротиворечащие условиям задачи. Оптимальное значение целевой функции не изменится.

Например, если коэффициенты целевой функции пропорциональны коэффициентам при переменных в одном из условий исходной системы неравенств, то возможно существование неединственного оптимального решения. Если соответствующее неравенство определяет одну из границ многогранника допустимых решений, совпадающую с линией уровня целевой функции, то все точки, лежащие на этой границе будут соответствовать оптимальным решениям.

Пример 5. Пусть в рассмотренном выше примере 1 цена реализации единицы продукции Р₁ и Р₂ стала равна соответственно 6 и 2 ден.ед. Экономико-математическая модель задачи примет следующий вид.

Найти значения переменных х₁, х₂, удовлетворяющие условиям:

(2.23)

при которых целевая функция принимает максимальное значение.

После приведения задачи к канонической форме и перевода переменной х₁ в базис, целевая функция принимает вид и не зависит от переменной x₂. (Выполнить преобразование самостоятельно). Оптимальными допустимыми будут следующие значения переменных:

При этом F_max = 24 ден.ед.

Таким образом, максимального значения целевая функция достигает на границе многоугольника допустимых решений, соответствующей равенству .