2. Первоначальное распределение поставок методом наименьших затрат

Пример 13. Пусть необходимо организовать перевозку продукции от нескольких поставщиков, например, молока с 3 ферм некоторому количеству потребителей, например, на 3 молокозавода (МЗ). Условия и решение транспортной задачи принято записывать в табличной форме:

	Потребители	МЗ 1	МЗ 2	МЗ 3
Поставщики	Мощности	90	80	130
Ферма 1	100	6	5	4
Ферма 2	75	3	7	5
Ферма 3	125	5	6	4

Во втором столбце таблицы заданы мощности (запасы) поставщиков – количество продукции, которое каждый из них может отправить потребителям за некоторый период времени. Во второй строке заданы мощности (спрос) потребителей – их возможности по переработке продукции за тот же период времени. В верхнем левом углу клеток области, выделенной утолщенной линией, задана удельная стоимость поставки единицы продукции (c_ij) по маршруту i-j (от поставщика i к потребителю j).

Определим тип задачи. Суммарная мощность поставщиков равна 300. Суммарная мощность потребителей равна 300. Т.е. задача является закрытой.

Заполним нижние правые углы клеток таблицы количеством продукции, которые можно перевезти по соответствующему маршруту.

Находим клетку (маршрут) с минимальной удельной стоимостью.

Если таких клеток несколько, можно начать с любой из них. Минимальная стоимость c₂₁=3. По маршруту 2 – 1 (с фермы 2 на завод 1) можно перевезти 75 единиц продукции. Ставим в нижний правый угол клетки 75 и перечеркиваем клетку сплошной линией. Клетка называется заполненной. При этом на ферме 2 нет остатка продукции, поэтому остальные клетки строки перечеркиваем пунктирной диагональной линией («вычеркиваем строку»). На завод 1 остается привезти 90 – 75 = 15 ед.продукции.

	Потребители	МЗ 1	МЗ 2	МЗ 3
Поставщики	Мощности	90	80	130
Ферма 1	100	6	5	4
Ферма 2	75	3 75	7	5
Ферма 3	125	5	6	4

В незачеркнутых клетках таблицы находим клетку с минимальной удельной стоимостью: c₁₃=4. По соответствующему маршруту 1 – 3 можно перевезти 100 единиц продукции. Ставим в нижний правый угол клетки 100 и перечеркиваем клетку. При этом на ферме 2 нет остатка продукции, поэтому остальные клетки строки перечеркиваем пунктирной линией. На завод 3 остается привезти 130 – 100 = 30 ед.продукции.

	Потребители	МЗ 1	МЗ 2	МЗ 3
Поставщики	Мощности	90	80	130
Ферма 1	100	6	5	4 100
Ферма 2	75	3 75	7	5
Ферма 3	125	5	6	4

В незачеркнутых клетках таблицы находим клетку с минимальной удельной стоимостью: c₃₃=4. По соответствующему маршруту 3 – 3 можно перевезти 30 единиц продукции, при этом запросы завода 3 будут удовлетворены полностью. На ферме 3 остатки продукции составят 95 ед. Ставим в нижний правый угол клетки 30 и перечеркиваем клетку.

	Потребители	МЗ 1	МЗ 2	МЗ 3
Поставщики	Мощности	90	80	130
Ферма 1	100	6	5	4 100
Ферма 2	75	3 75	7	5
Ферма 3	125	5	6	4 30

В незачеркнутых клетках таблицы находим клетку с минимальной удельной стоимостью: c₃₁=5. По соответствующему маршруту 3 – 1 можно перевезти 15 единиц продукции, при этом запросы завода 1 будут удовлетворены полностью. На ферме 3 остатки продукции составят 80 ед. Ставим в нижний правый угол клетки 15 и перечеркиваем клетку.

	Потребители	МЗ 1	МЗ 2	МЗ 3
Поставщики	Мощности	90	80	130
Ферма 1	100	6	5	4 100
Ферма 2	75	3 75	7	5
Ферма 3	125	5 15	6	4 30

Последняя свободная клетка соответствует перевозке продукции с фермы 3 на завод 2. Поставка 80 ед. продукции по этому маршруту удовлетворяет полностью запросы завода 2 и исчерпывает запасы фермы 3.

Ставим в эту клетку 80 и перечеркиваем её.

	Потребители	МЗ 1	МЗ 2	МЗ 3
Поставщики	Мощности	90	80	130
Ферма 1	100	6	5	4 100
Ферма 2	75	3 75	7	5
Ферма 3	125	5 15	6 80	4 30

Таблица первоначального распределения поставок заполнена. Вычислим суммарные затраты на перевозку по всем маршрутам:

F=4*100+3*75+5*15+6*80+4*30=1300.