10. Экономическая интерпретация двойственной задачи

Предположим, что у предприятия есть возможность вместо того, чтобы производить продукцию и реализовывать её по заданным (внешним) ценам, продать сырьё некоторому покупателю по оптимальным для себя (внутренним) ценам. Эти цены предприятие заинтересовано установить такими, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую можно получить при реализации выпущенной продукции. С другой стороны покупатель заинтересован в том, чтобы затраты на все ресурсы для него были минимальны.

Пример 9. Составим двойственную задачу для задачи из примера 1.

Найти такой набор цен (оценок) ресурсов у₁, у₂, у₃, у₄, при котором общие затраты на ресурсы в количествах b₁, b₂, b₃, b₄ будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции не менее выручки от реализации этой продукции.

Математическая постановка задачи: найти неотрицательные значения переменных у₁, у₂, у₃, у₄, удовлетворяющие ограничениям:

(2.46)

при которых функция

(2.47)

принимает минимальное значение.

Решение задачи симплексным методом выполнить самостоятельно.

Для взаимно двойственных задач существует соответствие между переменными и решениями. Для рассматриваемого примера это соответствие приведено в таблице 2.5.

Таблица 2.5. Соответствие решений взаимно-двойственных задач

Компоненты оптимального решения исходной задачи
Число единиц продукции (первоначальные переменные)		Остатки ресурсов (дополнительные переменные)
х1 3	х2 3	х3 0	х4 3	х5 2	х6 0
у5 0	у6 0	у1 4/7	у2 0	у3 0	у4 9/7
Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации (дополнительные переменные)		Объективно обусловленные оценки ресурсов (первоначальные переменные)
Компоненты оптимального решения двойственной задачи

Решения двойственной задачи – абсолютные величины коэффициентов целевой функции F в оптимальном решении прямой задачи ЛП. Переменные у₁, у₂, у₃ и у₄ представляют собой так называемые объективно обусловленные оценки (или маргинальные оценки, скрытые доходы). Они определяют степень дефицитности ресурсов. Ресурсы R₁ и R₄ являются дефицитными, их оценки отличны от нуля. Ресурсы R₂ и R₃ недефицитные, их оценки равны нулю. Объективно обусловленные оценки показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на 1 единицу. Т.е. в рассмотренном примере при увеличении (уменьшении) запаса ресурсов R₁ и R₄ на 1 единицу максимальная прибыль увеличится (уменьшится) на 4/7 и 9/7 руб. соответственно.

Переменные у₅ и у₆ определяют превышение затрат на ресурсы над ценой реализации. Если бы получилось, например, у₆ > 0, т.е. затраты на ресурсы больше цены продукции Р₂, то производить продукцию Р₂ по оптимальному плану не следовало бы.

Пример 10. Оценить целесообразность включения в план производства третьего вида продукции Р₃, если нормы затрат ресурсов а₁₃=2, а₂₃=1, а₃₃=3, а₄₃=1, и цена реализации единицы продукции равна c₃=2 ден.ед.

Вычислим затраты на ресурсы для производства единицы этой продукции и сравним значение с ценой реализации: . Следовательно, выпуск данной продукции нецелесообразен.