Метод Фурье решения краевых (смешанных) задач для однородных уравнений гиперболического и параболического типа.
Если каждой функции
поставлена в соответствие функция
,
то говорят, что на множестве
задан
оператор
со значениями в
и пишут
.
Будем считать, что
множество
и
для
двух
элементов, которого определено скалярное
произведение:
.
(
=
).
=
.
Предположим, что
пространство H
является линейным, т.е. если
;
φ1
H
c
φ1
H.
Оператор A*
определённый на H2
со значениями из H1
называется сопряжённым
оператору А, если
и
справедливо равенство
.
Может оказаться, что A=A*, тогда операторы A и A*, называются самосопряженными.
Рассмотрим задачу:
||
-
гиперболический тип
Пусть нужно найти
U(t,x),
удовлетворяющие этим уравнениям при t
>0 в некоторой области
ограниченной кусочно-непрерывной
поверхностью
непрерывную в области
и удовлетворяющую дополнительно условиям
||
||
Обозначим
,
Е – единичный оператор.
При таком обозначении наши задачи можно переписать в виде:
(1)
(2)
(3)
Подчеркнутое – смешанная задача.
т.к. уравнение (1)
является линейным, то решение его -
,
то и
тоже решение.
Решение уравнения (1) удовлетворяющее граничному условию (2) будем искать в виде:
L[TX]=
TL[X]=
T=T(t), X=X(x)
Граничное условие (2) при примет вид:
граничное условие
(2) принимает вид:
Тогда задача
(4) называется задачей
Штурма – Лиувилля.
Заметим, что
граничное условие в этой задачи может
быть трёх типов, учитывая, что
.
1)
2)
3)
Значит в зависимости
от значения
и
задача 1, 2, 3 разделяется на смешанные
задачи первого, второго и третьего типа,
а задача (4) на первую, вторую и третью
краевые задачи. В дальнейшем предполагаем,
что коэффициенты
непрерывны в
и
.
Задача (4) не при
всех значениях
имеет ненулевое решение, те значения
,
при котором задача (4) имеет ненулевые
решения называется собственными
значениями,
а сами ненулевые решения – собственными
функциями.
Теорема:
бесконечное множество собственных
значений
и собственных функций
краевой задачи (4).
◄без доказательства►
Эти собственные функции будем относить к классу А.
Напомним, что рядом
Фурье функции
по ортогональной с весом
системой функций
называется ряд
,
где
и
.
Теорема: (разложимости (Стеклова))
Всякая функция из классов разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи (4), причём этот ряд абсолютно и равномерно сходится в области .
Лемма: (о самосопряжённости дифференциального оператора)
Оператор
является самосопряжённым на функциях
класса А, т.е. скалярное произведение
функций
и
определено
как интеграл (т.е.
).
Док-во.
(*)
Учитывая формулу (*), получаем:
-
первая формула Грина.
Аналогичным образом:
Если мы рассматриваем
первую краевую задачу, то
.
Для первой краевой
задачи
из определения
сопряжённости оператора
Конец доказательства.
Замечание: Из
первой формулы Грина
(**)