Уравнение теплопроводности.
Из термодинамики
известно, что количество тепла
проходящее через площадку
,
пропорционально площади площадки ,
времени и нормальной производной, то
есть
где
температура
в момент времени
Здесь коэффициент
характеризует плотность теплового
потока.
В общем случае
можно считать, что этот коэффициент
зависит не только от координаты точек
и от направления нормали к поверхности
в этой точке. Предположим, что
не зависит от направления нормали, мы
считаем тело изотропным.
Обозначим через
величину теплового потока, то есть
количество тепла, проходящее в единицу
времени через единицу площади.
Выделим в трехмерном
теле некоторый произвольный объем,
ограниченный поверхностью
и посчитаем количество тепла, поступившее
в этот объем за время
Пусть внутри
выделенного объема находятся источники
тела, объемная плоскость которых
тогда количество тепла, выделяемое
всем объемом, будет равно
Обозначим
в точке
в момент времени
а
в
момент времени
тогда количество тепла, необходимое
для изменения температуры тела в момент
времени
Обозначим через
объемную
плоскость, а через
теплоемкость,
тогда количество тепла, необходимое
для изменения объема
за время
будет равно
.
Тогда
Составим уравнение
теплового баланса
Полученное
уравнение называется уравнением
теплопроводности для неоднородного
изотропного типа.
Если тело является
однородным, то
будут постоянными и уравнение принимает
вид:
Заметим, что
уравнение теплопроводности в некоторых
учебниках записывается в виде:
где
Аналогичным уравнением является уравнение диффузии.
Для уравнения
теплопроводности можно ставить задачу
Коши, для того кроме уравнения задается
начальное распределение
по объему, то есть задается функция
с помощью задачи Коши описывается
процесс распределения тепла в объеме
неограниченных размеров. Если же объем
ограничен, то кроме начального
распределения
должны
быть указаны процессы, происходящие на
границе объемов.
Такая задача носит
название смешанной задачи:
Если на границе
происходит теплообмен с окружающей
средой, по закону Ньютона, то граничное
условие принимает вид:
Уравнение теплопроводности является
уравнением параболического типа.
Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа.
К уравнениям эллиптического типа относятся уравнения, с помощью которых описываются стационарные процессы, то есть процессы, не меняющиеся во времени.
Приведем некоторые из таких уравнений.
1.Задача о стационарном колебании мембраны.
уравнение
Пуассона
(уравнение эллиптич. типа).
Если
уравнение
Лапласа.
2. Задача о стационарном распределении температуры.
уравнение Пуассона
уравнение Лапласа.
Для уравнений эллиптического типа ставятся 3 задачи:
1)
- задача Дирихле.
2)
-
задача Неймана.
3)
- 3-я краевая задача.
Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера.
Задача Коши имеет вид:
(1)
Легко показать, что решение этой задачи – сумма решений двух задач:
(2)
(3)
(О – однородное, Н – неоднородное ).
Решение задачи (2) определяется формулой Даламбера.
(см. п. телеграфное
уравнение).
Для решения задачи
(3) воспользуемся принципом Дюамеля,
согласно которому, если
является решением вспомогательной
задачи
(4)
решение задачи (3) определяется формулой
(5).
Действительно,
так как
решение
задачи (4), то из первого начального
условия
Находим произведение
функций (5) и подставим в (3).
Подставим в (3).
то есть функция (5) удовлетворяет решению
задачи (3).
Выполнение начальных условий задачи (3) для функции (5) очевидно.
Как найти решение задачи (4)?
Эта задача отличается
тем, что дополнительные условия не в
начальном моменте времени, а в моменте
времени
В (4) сделаем замену
причем в этой замене
является переменной. В (4) перейдем к
Поэтому для решения последней задачи
воспользуемся формулой Даламбера,
получим
тогда
решение
задачи.
Выражение формулы Даламбера через среднее на отрезке.
Формулу Даламбера
решение
задачи Коши
мы получили используя метод характеристик
и найдя общее решение уравнения
[среднее
значение функции на отрезке
]
Сравнивая средние
значения функции
на отрезке
со вторым слагаемым формулы Даламбера
приходим к выводу, что это второе
слагаемое можно записать в виде:
то есть формула Даламбера может быть
записана в виде:
где
