Малые продольные колебания упругого стержня.
Под стержнем будем понимать тело цилиндрической или призматической формы для растяжения или сжатия которого нужно приложить определенные усилия. Предполагаем, что все силы действуют вдоль оси стержня и каждое из перпендикулярных сечений стержня может перемещаться только вдоль его оси.
Каждое из сечений под влиянием
действующих на стержень сил мо-
жет смещаться. Величину этого
смещения обозначают через .
Эта функция зависит от координат сечения и времени.
В сечении
величина смещения
В сечении
величина смещения
Относительно
удлинения участка
стержня
будет равна
Это удлинение
вызывается силой
где
модуль
упругости (модуль Юнга),
площадь
сечения,
удлинение,
внешняя
сила, действующая на сечение с координатой
в момент времени
Обозначим через объемную плоскость стержня, тогда масса участка стержня длиной будет равна
,
уравнение
малых продольных
колебаний упругого стержня.
Для однозначного определения смещений сечений стержня нужно задать первоначальное положение сечения:
и скорость их
движения
Если стержень
конечной длины, то можно сказать, что
происходит на его концах:
,
Пример:
Однородный стержень длины
с закрепленным левым концом находится
в состоянии покоя. В момент времени
к его правому концу приложена сила
действующая вдоль стенки. Записать
математическую модель задачи.
Малые крутильные колебания вала.
Под валом будем понимать круглый цилиндрический стержень. Для упрощения вывода уравнения будем рассматривать вал постоянного сечения и однородный. В теории сопротивления материала считается, что при кручении сечения стержня остаются плоскими и сохраняют между собой расстояние.
Таким образом, кручение круглого вала есть результат сдвигов, вызванный поворотом поперечных сечений вала вокруг оси вала. При этих предположениях в поперечных сечениях возникает лишь касательное напряжение, а нормальные напряжения равны нулю.
Так как нас будут интересовать только относительные повороты сечений, то любое из сечений можно считать неподвижным. Будем считать неподвижным левый конец вала.
и
сечения с координатами
и
соответственно. В результате вращения
вала сечение
повернется на угол
а сечение
на
угол
Вычислим
крутящий момент
приложенный к сечению
Возьмем произвольный элемент
площади сечения, расположенном на
расстоянии
от оси вала.
Считается, что при
повороте сечения друг относительно
друга искривление волокна не происходит.
Величина напряжения
вызванного перемещением волокна
в положении
определяется формулой:
где
модуль
сдвига,
угол сдвига.
Считая угол поворота
малым можем записать, что
,
но
дуга
Усилия, приходящиеся
на площадку
Тогда элементарный закручивающийся
момент
величина закручивающегося момента по
всему сечению
Последний интеграл
обозначается
и в теории сопротивления материалов
носит название полярного момента инерции
сечения. Аналогом второго закона Ньютона
для вращательного движения является
где
момент
инерции относительно центра тяжести,
угловое
ускорение,
момент
всех сил внешних, приложенных к данному
сечению.
скорость,
угловая
скорость (
)
ускорение,
угловое ускорение (
)
скорость
угловое
ускорение.
Подсчитаем момент
внешних сил, приложенных к участку вала
длиной
Момент
внешних сил, приложенных к участку
вала
Если теперь через
обозначить величину момента инерции
вала, приходящуюся на единицу его длины,
то момент инерции
этого
вала будет равен
.
Учитывая величины всех элементов
приходим к уравнению
Считая
постоянными, получаем уравнение
крутильных колебаний вала:
где
Заметим, что это уравнение получено в
предположении, что отсутствуют внешние
крутящие моменты. Если они существуют,
то уравнение примет вид:
