Функция Грина задачи Дирихле.
Рассмотрим
внутреннюю задачу Дирихле для уравнения
Лапласа. Т.к. функция
является
гармонической в ограниченной области,
то
(1)
1. является гармонической в области и имеет непрерывные вплоть до границы производные первого порядка;
2.
.
Вспомним вторую
функцию Грина:
Применим эту
формулу к функциям
положив
получим:
(2)
Вычтем из формулы (1) формулу (2) получим:
Обозначим
-
функция Грина внутренней задачи Дирихле.
Определение:
функция
наз. функцией Грина внутренней задачи
Дирихле, если она удовлетворяет следующим
требованиям:
эта функция гармонична в области , исключая т.
,
где она обращается в бесконечность.
.В области эта функция допускает представление:
где
- гармоническая по переменной
в области
функцией и имеет непрерывные в
производные первого порядка.
Если известна
функция Грина задачи Дирихле, то решение
этой задачи выражается формулой: 
Заметим, что
построение функции Грина сводится к
отысканию функции
,
которая является решением задачи:
.
Функция Грина задачи Неймана.
Рассмотрим задачу
Неймана.
т.к. функция
-
гармоническая, то справедлива формула:
(1)
Введём функцию
которая является как функция переменной
гармонической в области
применяя к формуле
и
вторую формулу Грина получим:
(2)
Вычитаем из (1)-(2)
получим:
.
Обозначим
Если рассматривается
внутренняя задача Неймана, то потребуем:
,
где
-
площадь поверхности
.
Это требование
для функции
в
случае внутренней задачи Неймана
обусловлено необходимостью выполнения
условия
;
.
для
решения внутренней задачи Неймана
получим:
.
– функция Грина внутренней задачи
Неймана.
В случае внешней
задачи Неймана функция Грина определяется
аналогичным образом, только требование
заменяется на
Решение внешней
задачи Неймана будет определяться
формулой:
.
Так обр. под функцией Грина задача Неймана понимается функция , которая удовлетворяет следующим условиям:
она является гармоничной везде, исключая т.
где она обращается в бесконечность.В области
,
где
является функцией гармонической в
области
как функция переменной
.Для внутренней задачи Неймана
для внешней
Формула Пуассона решения задачи Дирихле для шара.
Рассмотрим задачу:
.
Если бы была
известна задача Неймана:
. 
. 
.
Подвергнем т.
преобразованию инверсии относительно
поверхности шара радиуса
. 
.
Возьмём т.
:
.
.
т.к.
и угол
.
Следовательно,
Таким образом в
качестве формулы Грина возьмём функцию
.
. 
Следовательно:
.
– формула Пуассона.
Заметим, что решение
внешней задачи Дирихле определяется
формулой:
Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга.
.
Если бы известна
функция
то решение задачи Дирихле не для круга
записалось бы в виде:
.
, 
для задачи Дирихле.
В качестве функции
,
где n
– некоторый коэффициент,
- расстояние от т.
до т.
,
причём
симметрично
т.
относительно окрестности радиуса
.
,
т.к
и
.
,
т.е.
.
.
, но
функция
Грина: 
.
.
,
, 
- формула Пуассона
решения внутренней задачи Дирихле для
круга.
Запишем формулу Пуассона в полярной системе координат.
