Уравнения эллиптического типа. Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа.

С помощью уравнений эллиптического типа описываются так называемые стационарные процессы.

Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа:

1. задача о стационарном состоянии мембраны. Известно, что уравнение колебаний мембраны имеет вид:

Если форма мембраны не меняется во времени, то

уравнение принимает вид:

- уравнение Пуассона(2-х мерное), .

Если g(x,y)=0 уравнение примет вид:

- уравнение Лапласа.

граничные условия примут вид:

Эти задачи разделяются на внутренние и внешние. Если решение задачи находят в ограниченной области, то задача называется внутренней.

Если граничные условия принимают вид:

и задача - задача Неймана,

причем, производная берется в направлении внешней нормали к поверхности

Рассмотрим еще одну задачу, приводящую к уравнениям эллиптического типа:

Это уравнение описывает процесс распространения тепла

,

Когда и -третья краевая задача.

Определение гармонической функции. Фундаментальные решения уравнения Лапласа.

Рассмотрим уравнение Лапласа:

Решением этого уравнения бесконечное множество функций:

U=

Некоторые из этих решений называются гармоническими функциями.

Опр. наз. гармонической в ограниченной области, если в этой области она имеет непрерывные производные 2-го порядка и удовлетворяет у равнению Лапласа.

Опр. наз. гармонической в неограниченной области, если :

1.)она является гармонической в любой ограниченной подобласти данной области;

2.)выполняется условие на бесконечности:

Из определения функции гармонической в неограниченной области что в двумерной области

Среди множества решений уравнения Лапласа выделяют решения, обладающие некоторой симметрией. В случае уравнение Лапласа в полярной системе координат имеет вид:

Т.к. решение не зависит от .

.

,

-фундаментальное решение двумерного уравнения Лапласа.

Рассмотрим теперь трехмерное уравнение Лапласа:

Если теперь перейти к сферической системе координат:

уравнение Лапласа примет вид:

или Пусть

Понятие фундаментального решения уравнения Лапласа обобщается на случай любого числа пространственных переменных.

- площадь поверхности сферы единичного радиуса в n-мерном пр-ве. Из физики известно , что E совпадает с точностью до множителя с полем точечного заряда, помещенного в начало координат, потенциал этого заряда

фундаментальное решение уравнения Лапласа.

Заметим, что фундаментальные решения уравнения Лапласа являются функциями гармоническими везде, за исключением быть может т. , где они обращаются в бесконечность.

Аналитическая функция 1-го комплексного переменного и гармоническая функция двух вещественных переменных.

Если потребовать дополнительно существование непрерывных производных 2-го порядка, то продифференцировав 1-е уравнение по x, а 2-е по y и сложив полученные выражения получаем:

.

Следовательно, действительная часть аналитической функции 1-й комплексной переменной являются функцией гармонической в любой ограниченной области.

Аналогичным образам легко показывается, что мнимая часть также удовлетворяет уравнению Лапласа.

Рассмотрим функцию:

гармонические функции в любой ограниченной области.

является аналитической во всей плоскости кроме точки z=0.