Представление смешанных задач в виде рядов.

Пусть имеем (1)

(2)

| (3)

Мы искали решения этой задачи в виде (4) . Если собственные значения задачи (4), а собственная функция, то , .

- любая такая функция является решением нашего уравнения (1) и удовлетворяет граничным условиям (2), но в силу линейности уравнения (1) сумма решений – тоже решение.

Теорема: Непрерывное в замкнутой области решение задачи (1)-(3) принадлежащее соответствующему классу А при всяком фиксированном представляется в виде ряда:

, где при этом

.

Док-во.

Пусть удовлетворяет уравнению и граничному условию. По теореме о разложимости Стеклова , где .

Выясним способ определения коэффициентов . Т.к. , то . Тогда

Конец доказательства.

Движения, описываемые такими функциями называется собственными колебаниями или стоячими волнами. Причём называется основным тоном колебаний, а остальные называются обертон.

- частота собственных колебаний. Частота и период собственных колебаний не зависит от начальных условий.

Свойства собственных значений и собственных функций.

задача Штурма – Лиувилля.

Собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля обладают рядом свойств:

1. Если – собственная функция, отвечающая собственному значению , то и также собственная функция, отвечающая этому же собственному значению.

2. Если и - собственные функции, отвечающие собственному значению , то также собственная функция, отвечающая собственному значению .

3. Собственные функции и соответствующие различным собственным значениям и являются ортогональными в области с весом .

Док-во.

Действительно, т.к. и - собственные функции, то домножим и разность проинтегрируем по .

т.к. самосопряжен, то

Конец док-ва.

4. Все собственные значения задачи Штурма – Лиувилля вещественны.

Док-во.

От противного.

Пусть - собственное значение, а - соответствующая ему собственная функция

Собственные функции - и , а собственные числа - и .

Так как собственные функции и соответствуют различным собственным значениям, то по свойству 3 они ортогональны в области с весом

т.к. не может быть собственной функцией, т.к. она равна нулю, а собственная функция не может быть нулевой.

Конец док-ва.

5. Все собственные значения неотрицательны.

Док-во.

Получим

Т.е. все собственные значения неотрицательные.

Конец доказательства.

Метод Фурье решения смешанных задач для неоднородных уравнений.

(1) (2)

(3)

Легко показать, что решение задачи (1) – (3) есть сумма решений задач

(4) (5)

Задачу (4) мы решать умеем.

В процессе решения задачи (4) мы найдём собственные значения и собственные функции .

Теперь решение задачи (5) будем искать в виде: , где известные функции, а подлежат определению.

т.к. ) или то с учётом .

Для определения неизвестных функций имеем задачи Коши

уравнение гиперболического типа.

уравнение параболического типа.

Подставим полученные решения этих задач в ряд получим решение задачи (5).

Замечание. В некоторых смешанных задачах граничное условие (2) является однородным, т.е. принимает вид:

С помощью замены путём подбора приводим к смешанной задачи , но уже с однородным граничным условием .

В случае пространственных переменных граничное условие имеет один из видов:

В первых трёх случаях с помощью замены граничные условия можно сделать нулевыми.

путём подбора приводят к смешанной задаче , но уже с однородным условием вида .