Динамика................................................................................................................................................. 3

Силы......................................................................................................................................................... 3

Дифференциальное уравнение движения............................................................................................ 3

Решение прямой задачи......................................................................................................................... 4

Решение обратной задачи...................................................................................................................... 4

Основные понятия динамики............................................................................................................... 5

Аксиомы динамики................................................................................................................................ 6

Дифференциальные уравнения движения материальной точки....................................................... 7

Система единиц (СИ)............................................................................................................................. 8

Две основные задачи динамики точки................................................................................................. 8

Общие уравнения динамики точки...................................................................................................... 9

Теорема об изменении количества движения точки...................................................................... 9

Теорема (в дифференциальной форме)........................................................................................... 10

Теорема в интегральной форме....................................................................................................... 10

Теорема об изменении момента количества энергии................................................................... 11

Потенциальное силовое поле.............................................................................................................. 12

Свойства потенциального поля...................................................................................................... 13

Потенциальная энергия материальной точки............................................................................... 13

Некоторые геометрические свойства потенциального силового поля...................................... 13

Примеры потенциальных силовых полей..................................................................................... 14

Закон сохранения полной механической энергии............................................................................ 14

Основные уравнения динамики......................................................................................................... 14

Две основные задачи динамики для несвободной точки................................................................. 14

Движение точки по неподвижной поверхности........................................................................... 15

Плоский математический маятник..................................................................................................... 16

Принцип Даламбера для материальной точки.................................................................................. 17

Динамика относительного движения материальной точки............................................................. 18

Работа силы. Мощность....................................................................................................................... 18

Мощность.......................................................................................................................................... 19

Работа силы тяжести........................................................................................................................ 20

Работа силы упругости.................................................................................................................... 20

Теорема об изменении кинетической энергии точки....................................................................... 21

Прямолинейное колебание материальной точки.............................................................................. 21

Свободные колебания.......................................................................................................................... 22

Свободно затухающие колебания....................................................................................................... 23

Динамика системы материальных точек........................................................................................... 24

Силы, действующие на систему......................................................................................................... 24

Дифференциальное уравнение движения системы.......................................................................... 25

Центр масс системы............................................................................................................................. 25

Моменты инерции системы................................................................................................................ 26

Центробежные моменты инерции...................................................................................................... 26

Основные теоремы динамики............................................................................................................. 28

Теорема о движении центра масс....................................................................................................... 29

Теорема об изменении момента количества движения системы (кинетического момента)........ 30

Кинетическая энергия твёрдого тела................................................................................................. 31

Теорема об изменении кинетической энергии системы.................................................................. 32

Динамика твёрдого тела. Динамика поступательного движения твёрдого тела.......................... 32

 

 

 

 

 

Динамика.

Динамика – это раздел теоретической механики изучающий движения материальных точек и твёрдых тел под действием приложенных к ним. В динамике решают две задачи. Эти задачи называются первой или прямой, второй или обратной. Обратная задача является основной. Прямой задачей, по заданным законам движения, определяют силы и моменты сил. Во второй задаче, по приложенным силам и моментам, вычисляют законы движения, Динамика базируется на трёх законах.

Первый закон: Материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, если на неё не действуют силы или действующие силы на точку уравновешены.

Второй закон(второй закон Ньютона): Материальная точка массы m, движется ускоренно под действием приложенных к ней сил.

Третий закон: Если одна материальная точка действует на другую силой F₁, то другая будет действовать с силой равной по модулю F₁, направленную противоположно вдоль прямой, соединяющей эти точки.

 

Силы.

В динамике различают: внешние и внутренние, активные и реакции связей. Также различают силы постоянные, зависящие от координат, зависящая от времени и зависящая от скорости

 

Дифференциальное уравнение движения.

Пусть на материальную точку m действует сила F. По второму закону эта точка получит ускорение, по модулю пропорциональное модулю силы в направление этой же силы. Запишем основное уравнение динамики.

Проецируем это уравнение на оси координат  , где а_x, a_y, a_z – проекции ускорения на оси координат x, y, z, соответственно.

F_x, F_y, F_z – проекции сил. Учитывая: 

Перепишем систему (2) с учётом (3):

Системы (2), (4), (5) представляют собой дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси координат.

 

Решение прямой задачи.

Первая задача считается заданной, если известно уравнение движения материальной точки, массой m.

 

Д ано:      

m, r(t)

Найти: под действием какой

силы движется эта точка по

заданному закону.

Решение:

где 

 

 

 

 

 

Пример:

1. Материальная точка m=10 грамм движется ускоренно по прямой. Если ускорение а=5 м/с². Определить под действием какой силы эта точка получила ускорение.

Дано:                                 Решение:

m= 10 г                              

а=5м/с²

Найти: F=?

2. Материальная точка m=10г движется в неподвижной плоскости по законам. Определить модуль силы приводящей эту точку в движение.

Дано:                                    Решение:

 

Решение обратной задачи.

Решение обратной задачи на теории интегрального исчисления. Задача считается заданной, если задана масса материальной точки и силы, действующие на эту точку. По заданным силам и массе определяют уравнение движения. Используя дифференциальное уравнение в системах (2),(4),(5). Пусть задана масса и сила. При решении обратной задачи вводятся понятия “начальное условие”. К начальному условию в механике относятся две величины “положение материальной точки и скорость”, в момент рассмотрения задачи, т.е. в момент рассмотрения задачи, т.е. в момент, когда время отсчёта равно 0, т.е. при  - Начальное условие.

Задача: Найти траекторию движения точки массой m = 1кг, если на неё действует сила тяжести. В начальный момент эта точка находилась на высоте 10 м над землёй и имела начальную скорость 5 м/с направленную горизонтально.

Дано:                                 Решение:

 

В динамике механическое движение изучается в такой же связи с силами, т.е. с телами, физическими величинами, которые вызывают движение.