Метод суперпозиции или гл. Координат

Используется тогда, когда решение может быть описано линейной комбинацией гармоник, отвечающих нескольким низшим частотам системы. Это возможно когда высшие гармоники в разложении возмущающего воздействия P(t) мало влияют на поведение в рассматриваемой системе. Из вычисленных ранее собственных частот выбираются те из них, которые близко лежат к частоте возмущающей силе. В этом методе не используется матрица демпфирования элементов. Демпфирование рассматривается в целом для системы. Матрица коэфф. демпфирования может быть определена из выражения:

- диагональная матрица, образованная из коэффицентов вязкости внешних демпферов

- коэф. вязкости материала конструкции

Приближенно внутреннее и внешнее сопротивление материала в МКЭ учитывают используя выражение:

Значения и подбирают из условия, чтобы декременты колебаний, отвечающие затухающим свободным колебаниям совершали бы по двум характерным (низшим) формам собственных колебаний были частотно независимы. Их значения находят используя две характерные формы колебаний с частотами и и известные коэффициенты демпфирования системы:

Метод суперпозиций состоит в том, что искомый вектор q(t) решения уравнения движения представляются в виде:

- неизвестное обобщенное перемещение координаты

- известные формы собственных колебаний системы

Из диф. ур-ния Лагранжа 2-го рода при отсутствии сил сопротивления имеем:

[E] – квадратичная единичная матрица

i=1,2, …, n – число ст. свободы

Известно:

В силу симметрии матрицы жесткости.

Тогда:

;

Подставив последние выражение в предыдущее получим основное уравнение движения:

или в развернутом виде с учетом условия ортогональности собственных форм:

В результате система уравниений движения может быть сведена к системе из n независимых уравнений вида:

Из которых определяют перемещения

k – номер формы колебаний.

Точность решения зависит от дин. модели и правильности выбора числа собственных частот используемых в системе, а также от характера действия дин. нагрузок, поэтому его удобнее использовать тогда, когда необходимо исследовать как собственные частоты, так и отклик системы на дин. воздействие.

Упрощенные методы

В некоторых частных случаях применяю спец. подходы, позволяющие повысить эффективность решения основного уравнения, например для установившегося гармонического воздействия и для затухающих колебаний возможного положительного равновесия. В первом варианте вынуждающая сила P(t) является синусоидальной функцией времени с известной амплитудой , частотой и фазовым углом .

Во втором - решение идентично колебаниям ри периодическом возмущающем воздействии:

, а решение задается в виде:

После подстановки в основное уравнение движения решение становится идентичным решению статической задачи.

Свободное колебание пластины.

Полагая что толщина пластинки не превосходит 1/5 – 1/10 наименьшего размера, а амплитуды прогибов малы в сравнении с толщиной. Колебания таких пластинок оказываются линейными.

Вывод диф. ур-ний этих колебаний, а также граничных условий основан на гипотезах Кирхгофа, принятых приближенной теорией изгиба тонких пластин. Пластина рассматривается как система с бесконечным числом степеней свободы, однако в реальных конструкциях представляет интерес область низких частот. Диф. ур. колебания пластины выводится из ур-ния движения единичного элемента. Простейший случай однородной изотропной пластинки постоянной толщины. Ур-ние движения для прямоугольной с. к. :

– изгибающие моменты;

– крутящий момент;

– поперечные силы;

– плотность материала;

– амплитуда прогиба;

h – толщина пластины

Подставляя выражения для моментов, взятые из теории изгиба пластины, получаем уравнения собственных колебаний рассматриваемой пластинки:

Решение уравнения принимается в виде:

С учетом последнего выражения уравнение принимает вид:

Или в операторном виде:

– собственное значение диф. уравнения

– круговая частота собственных колебаний

D – цилиндрическая жесткость

Для более сложных случаев: ортотропные, изотропные и непрямоугольные, уравнения можно записать в операторном виде:

– собственный линейный диф. оператор в частных производных для выбранной с.к.

Т.о. задача определения частот собственных поперечных колебаний пластинки состоит в нахождении собственных значений линейного обыкновенного диф. уравнения в частных производных при этом должны удовлетворяться граничные условия, которые не отличаются от условий принятой приближенной теорией изгиба пластин.