Решение задач динамики МКЭ.

Уравнения движения в матричной форме

Уравнение движения можно получить используя принцип возможных перемещений. Подставляя в уравнение Лагранжа выражения для пот. и кинет. энергии получаем:

– скорость; - ускорение; - перемещение

Если подставить в это уравнение развернутые выражения для П и T_k, то получим уравнение движения в матричной форме:

- матрица жесткости; - матрица масс; - вектор обобщенных внешних воздействий

(со штрихом в локальной с.к.) [L] – матрица направляющих косинусов

, n – число к.э. в модели конструкции

С учетом сил сопротивления и опуская зависимость от t, запишем уравнение движения:

[C]-матрица демпфирования

, где N – ф. Эрмита; i-номер к.э.; j и k номер строки и столбца; - коэф. вязкого сопротивления

; - плотность

Матрица масс и демпфирования

1) Балочные элементы

Пот. и кин. энергия для элемента с учетом поперечных и продольных сил инерции определяется из следующих двух выражений:

EJ – жесткость на изгиб; EF – на раст-сж; J_крG – на кручение

- длина балки; - масса единицы длины(погонная); F – площадь поперечн.сеч.

Если в выражение ввести

; ; - это перемещения балки

Можно выполнить вывод матрицы масс кот. идентичен выводу матрицы жесткости:

;

2) Прямоугольный элемент пластины

, h – толщина

Свободные колебания упругих систем (модальный анализ)

Помогает установить параметры колеб. Конструкции.

С его помощью определяется собственные частоты и формы колебаний.

Использ. как отправная точка для других более подробных динамических расчетов, таких как нестацион. дин. анализ или отклик системы на гармоническое воздействие. При свободных колебаниях без сопротивления имеет место:

- круговая частота;

С учетом этих условий уравнение движения примет вид:

; - определитель системы

Поскольку перемещения тожд. 0, то мы получаем уравнение для частот свободных (собств.) колебаний

- собственное значение матрицы, соотв. частотам своб. колеб. системы:

; - собственные частоты

В ANSYS модальный анализ является линейной процедурой. Доступны 4 метода опр. частот.

Нестационарные задачи.

В ANSYS два основных вида решений:

- анализ отклика на гармонические воздействия

- динамич. анализ

1) Анализ отклика на гармонические воздействия

Любая достаточно длительная циклическая нагрузка вызывает гармонический отклик мех. системы. Анализ реакции на гармоническое воздействие дает возможность определить установившийся отклик линейной механической системы на синусоид. нагрузку и т.о. оценить способность системы противостоять резонансным явлениям, усталостному разрушению и др. вредным эффектам вибрации. Основная идея метода состоит в том, чтобы получить отклик системы при нескольких частотах и построить зависимость опр. параметров (обычно перемещений) от частоты, а затем выявить частоту, при кот. реакция максимальна и получить значения напряжений при этой частоте. Любые нелинейности системы игнорируются. Используются три метода решения:

-полный (прямого числ. инт-я. или шаговый)

-сокращенный

-метод суперпозиции форм колебаний (метод гл. координат)

В качестве ещё одного метода можно рассматривать проведение дин. анализа при гарм. воздействии.

П олный метод самый простой. Он исп. систему матриц задачи ( как симм-ю так и не симм-ю) целиком без преобразований.

Преимущества:

-нет необходимости выбирать гл. ст. свободы и формы колеб.

-все перемещения и напряжения вычисляются за один проход (этап)

-допустимы все виды нагрузок

Недостатки:

-значительные затраты времени по сравнению с 2-мя другими методами

Сокращенный метод дает возможность исп-ть гл. ст. свободы и матрицы уменьшенных размерностей. После определения перемещений для гл. ст. свободы вып. второй этап решения: получ. знач. перемещений, усилий, напряжений для полного набора ст. свободы. Этот метод применяется для рассмотрения гарм. отклика предварит. напряж. конструкций и некот. др.

Метод суперпозиции решений исп. результаты модального анализа для расчета отклика системы на гармоническую нагрузку.

2) Динамический анализ

Используется для определения реакций конструкции в виде перемещений, деформаций, напряжений и усилий на действия произвольной нагрузки, меняющейся во времени таким образом, что приходится учитывать инерционные эффекты и процессы рассеивания энергии. Этот вид анализа гораздо более сложный, чем статический, поэтому в ряде случаев целесообразно провести следующие предварительные работы:

1. провести анализ более простых моделей

2. провести линейный анализ перед введением нелинейностей

3. выполнение модального анализа для оценки реакций системы и определения шага решения давлений

4. использование метода подконструкций для линейных частей системы

Используется 3 метода решения:

-полный;

-сокращенный;

-метод суперпозиций форм колебаний

Полный метод является наиболее общим и мощным, т.к. допускает приложение нагрузки всех видов (в том числе задание ненулевых перемещений) и позволяет включать все виды нелинейностей (пластичность большие деформации, контакт, потеря устойчивости и др.)

Два других метода предполагают постоянство шага по времени течения всего переходного процесса и допускают использование нелинейностей только в виде элементов зазора для моделирования простого контакта типа «узел к узлу». Обычно работают быстрее полного метода.