3.7. Характерные области дифракции света

Иногда встречается утверждение, что дифракция Фраунгофера отличается от дифракции Френеля тем, что в первом случае на исследуемый объект падает плоская волна, а во втором - сферическая. Это утверждение, вообще говоря, неверно.

Пусть плоская волна с длиной волны  падает нормально на экран с отверстием (например, круглым) радиусом r₀, а точка наблюдения находится на оси симметрии за экраном на расстоянии L от него.

Характер дифракционной картины зависит от того, сколько зон Френеля укладывается в отверстии, или от значения параметра дифракции , равного отношению размера первой зоны Френеля к размеру отверстия r₀. Из (3.15) следует, что радиус первой зоны Френеля равен , тогда

. (3.34)

Различают следующие характерные области дифракции света, отвечающие разным значениям :

• геометрическая область - <<1;

• область дифракции Френеля - 1;

• область дифракции Фраунгофера - >>1.

При фиксированном размере отверстия r₀ и длине падающей волны  по мере удаления точки наблюдения от отверстия (т.е. с увеличением L) последовательно проходят указанные области.

В первой, прилегающей к отверстию области (), поперечное (в плоскостиL=const) распределение амплитуды повторяет (исключая малую окрестность вблизи границ геометрической тени) распределение амплитуды на самом отверстии и отвечает приближению геометрической оптики.

Во второй области () поперечное распределение амплитуды существенно искажается. При этом картина дифракции зависит от того, сколько зон Френеля помещается в отверстии (дифракция Френеля).

Наконец, в третьей, удаленной области (), размер отверстия значительно меньше первой зоны Френеля. Дифракция при выполнении этого условия, называется фраунгоферовой. Заметим, что в чистом виде дифракция Фраунгофера наблюдается на бесконечности () - дифракция в параллельных лучах.

Рис.3.18

На рис. 3.18 представлено распределение интенсивности света на экране, расположенном за отверстием в виде тонкого кольца, по мере увеличения расстояния между отверстием и экраном. Можно проследить плавный переход от геометрической оптики (1-3) через дифракцию Френеля (4-7) к дифракции Фраунгофера (9-11). Число открытых зон уменьшается слева направо.

3.8. Дифракционная решетка

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на системе N одинаковых щелей, разделенных равными промежутками. Пусть ширина каждой щели b, а расстояние между центрами соседних щелей (период) d. То есть мы имеем одномерную периодическую структуру, называемую дифракционной решеткой.

Рис. 3.19

Пусть дифракционная решетка освещается параллельным пучком монохроматического света с длиной волны , падающим нормально на нее. За решеткой параллельно ей располагается собирающая линза L, а в ее фокальной плоскости - экран Э для наблюдения дифракционной картины (рис. 3.19). Рассмотрим лучи, отклонившиеся в результате дифракции от своего первоначального направления на угол . Каждая щель является источником когерентных волн, которые могут интерферировать друг с другом. Разность хода между двумя лучами, вышедшими из точек, расположенных на одинаковом расстоянии от краев двух соседних щелей, равна =dsin, значит, разность фаз между ними есть  = 2/.

Таким образом, после решетки под углом  к нормали идут N когерентных лучей, для которых разность фаз между лучом 1 и лучами 2,3,...,N равна ,2,...,(N-1). Так как все эти лучи падают на линзу под одним углом , то после прохождения линзы все они сходятся в одной точке экрана О_. Очевидно, что эта точка видна из центра линзы под углом . Интенсивность света в точке О_ может быть найдена как результат интерференции N когерентных лучей с регулярной разностью фаз между ними.

Тогда можно использовать формулу (2.32), из которой следует, что интенсивность света в точке О_ равна

,

где I_0 - это интенсивность света, вышедшего из одной щели под углом . Но эта величина была найдена в п.3.6 (формула (3.33)), следовательно,

, (3.35)

здесь I₀ - интенсивность света, вышедшего из одной щели под углом =0.

Проанализируем полученное выражение. Его можно представить как произведение двух сомножителей:

.

Графики функций I_1 и I_2 в зависимости от sin  представлены на рис.3.18 а. и б., а их произведения - на рис.3.18в. Мы видим, что при освещении дифракционной решетки монохроматическим светом, распределение интенсивности света на экране за ней представляет из себя ряд максимумов (называемых главными), разделенных практически темными участками. Угловое положение главных максимумов определяется из условия

или (m=0,1,2,...), (3.36)

При выполнении этого условия I=N²I₀, т.е. в направлении углов, удовлетворяющих (3.36), происходит увеличение интенсивности света, прошедшего через одну щель, в N² раз.

Между главными максимумами располагается N-1 минимум интенсивности, угловое положение которых находится из условий

откуда (3.37)

а.

б.

в.

Рис.3.20

Угловая ширина главного максимума  определяется как угловое расстояние между направлениями на минимумы, ближайшие к данному максимуму. Взяв дифференциал от выражения (3.37), легко получить, что

.

Отсюда видно, что ширина главных максимумов уменьшается с ростом числа щелей N.