2. «Золотое сечение»

Симметрия форм предметов природы как выражение пропорциональности, соразмерности, гармонии подавляла древнего человека своим совершенством, и это было использовано религией, различными представлениями мистицизма, пытавшимися истолковать наличие симметрии в объективной действительности для доказательства всемогущества богов, якобы вносящих порядок и гармонию в первоначальный хаос. Так, в учении пифагорейцев симметрия, симметричные фигуры и тела (круг и шар) имели мистическое значение, являлись воплощением совершенства.

Следует обратить внимание и на учение Пифагора о гармонии. Известно, что если уменьшить длину струны или флейты вдвое, тон повысится на одну октаву. Уменьшению в отношении 3:2 и 4:3 будут соответствовать интервалы квинта и кварта. То, что важнейшие гармонические интервалы получаются при помощи отношений чисел 1, 2 и 3, 4, пифагорейцы использовали для своих мистических выводов о том, что «все есть число» или «все упорядочивается в соответствии с числами». Сами эти числа 1, 2, 3, 4 составляли знаменитую «тетраду». Очень древнее изречение гласит: «Что есть оракул дельфийский? Тетрада! Ибо она есть музыкальная гамма сирен». Геометрическим образом тетрады является треугольник из десяти точек, основание которого составляют 4 точки плюс 3, плюс 2, а одна находится в центре.

В геометрии, механике - всюду, где мы имеем дело с отрезками прямых, мы встречаемся и с понятиями меры, сравнения и соотношения. Эти понятия являются отражением реальных отношений между предметами в объективном мире. Чтобы пояснить это положение, можно выбрать на данной прямой АВ любую третью точку С. Таким образом, совершается переход от единства к двойственности, и мысль этим самым приводит к понятию пропорции. Следует подчеркнуть, что соотношение есть количественное сравнение двух однородных величин, или число, выражающее это сравнение. Пропорция есть результат согласования или равноценности двух или нескольких соотношений. Следовательно, необходимо наличие не менее трех величин (в рассматриваемом случае прямая и два ее отрезка) для определения пропорции. Деление данного отрезка прямой АВ путем выбора третьей точки С, находящейся между А и В, дает возможность построить шесть различных возможных соотношений:

a:b ; a:c ; b:a ; b:c ; c:a ; c:b

при условии отметки соответствующей длины отрезков прямой буквами «а», «b», «с» и применения к данной длине любой системы мер. Проанализировав возможные случаи деления отрезка АВ на две части, мы приходим к выводу, что отрезок можно делить на:

1) две симметрические части a=b; 2) a:b = c:a

Так как c = a + b, то

a/b = (a + b)/a ;

( (a + b)/a очевидно, превосходит единицу); дело обстоит так же и в отношении а/b; значит, «а» превосходит «b» и точка «С» стоит ближе к В, чем к A.

Это соотношение a:b = c:a или AC/CB = AB/AC

может быть выражено следующим образом: длина АВ была разделена на две неравные части таким образом, что большая из ее частей относится к меньшей, как длина всего отрезка АВ относится

к его большей части:

3) a/b = b/c равноценно a/b = b/(a + b).

В этом случае «b» больше «а»; точка С ближе к А, чем к В, но отношения те же, что и во втором случае,

Рассмотрим равенство

a/b = c/a = (a + b)/a,

при котором отрезок АС длиннее отрезка СВ. Это общее простейшее деление отрезка прямой АВ, являющееся логическим выражением принципа наименьшего действия. Между точками А и В имеется лишь одна точка C, поставленная таким образом, чтобы длина отрезков АВ, СВ и АС соответствовала принципу простейшего деления; следовательно, существует только одно числовое выражение, соответствующее отношению a/b. Эту же задачу можно решить путем геометрического построения, известного как деление прямой на две неравные части таким образом, чтобы соотношение меньшей и большей частей равнялось соотношению большей части и суммы длин обеих частей, а это и соответствует формуле

a/b = (a + b)/a,

которую называют «божественная пропорция», «золотое сечение» т.д.

Изучение объективной реальности и задачи практики привели к возникновению наряду с понятием симметрия и понятия асимметрии, которое нашло одно из своих первых количественных выражений в так назыываемом золотом делении, или золотой пропорции.

Пифагор выразил «золотою пропорцию» соотношением:

А:Н = R:B,

где Н и R суть гармоническая и арифметическая средние между величинами А и В.

R = (A + B)/2; H = 2AB/ (A + B).

Кеплер первый обращает внимание на значение этой пропорции в ботанике и называет ее sectio divina - «божественное сечение»; Леонардо да Винчи называет эту пропорцию «золотое сечение».

3. Симметрия в природе

3.1 Симметрия в живой природе

Живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой.

Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко. Если они жидкие, то их называют жидкими кристаллами. В этих структурах сильно вытянутые молекулы расположены так, что их длинные оси в среднем ориентированы в одну сторону. В некоторых случаях образуются дополнительные сверхструктуры: возникает закручивание или слоистые структуры.

Жидкие кристаллы, как и твердые, обладают анизотропией физических свойств. Однако пространственной решетки жидкие кристаллы не имеют.

К жидким кристаллам относятся отдельные компоненты желчи и крови, хрусталик глаза, оболочки нервов, серое вещество мозга, головка сперматозоида и т. д. Но особенно важное значение играет жидкокристаллическая структура мембран клеток. Это та «кожица», которая удерживает вещество клетки от растекания и служит ей как бы внешним органом. Мембрана — вязкая жидкость, в которой молекулы фосфолипидов (жиров) имеют длинные оси, расположенные параллельно. При комнатной температуре молекулы фосфолипидов свободно перемещаются вдоль плоскости мембраны, пространственной решетки нет, и это состояние — нормальное состояние живой клетки. При понижении температуры мембрана «замерзает», молекулы фосфолипидов останавливаются, образуется пространственная решетка. Лишенная подвижности мембрана не может выполнять свои функции, и клетка гибнет. Наступила кристаллизация, клетка оказалась «пойманной» решеткой.

Рассмотрим виды симметрии. Такие объекты живой природы, как бабочка, лист растения, рак, обладают зеркальной симметрией относительно плоскости, делящих их на две зеркально равные части. Такой вид симметрии носит название двусторонней. Она характерна для внешнего строения тела человека, млекопитающих, птиц, пресмыкающихся, земноводных, рыб, а также многих растений.

Если некоторый объект нельзя совместить с его зеркальным двойником (отражением) с помощью каких-либо перемещений и поворотов, то такие объекты называют стереоизомерами. Примерами стереоизомеров являются: рука человека, кристаллы кварца. О стереоизомерах говорят, что они зеркально-ассиметричны. Объекты – стереоизомеры имеют одинаковую форму, размеры и в то же время различны, такт как не совпадают со своим зеркальным образом.

Одну из форм стереоизомера (произвольно какую) называют правой (П), зеркально-отраженную форму – левой (Л).

Одним из достижений в изучении П- и Л-форм является открытие того факта, что ряд свойств П- и Л-форм биообъектов качественно отличаются друг от друга (дисимметрия жизни). Так, антибиотик пенициллин вырабатывается из грибка только в П-форме; искусственно приготовленная его Л-форма антибиотически неактивна. Обычно в природе П- и Л-формы встречаются не в равных количествах. Как правило, преобладает либо П-, либо Л-форма, а в живых организмах зеркально-асимметрические молекулы встречаются только в виде какой-либо одной формы. Согласно одной из существующих гипотез, причинами неравноправия П- и Л-форм могут быть дисимметрические элементарные частицы, а также правополяризованный свет, который в небольшом избытке всегда присутствует в рассеянном солнечном свете и образуется при отражении обычного света от зеркальной поверхности морей и океанов.

На преобладание в живых организмах зеркально-асимметричных молекул в виде только одной формы (П или Л) впервые обратил внимание Луи Пастер. Он и позднее В.И. Вернадский полагали, что именно здесь проходит граница между живой и неживой природой.

Одна из наиболее замечательных черт жизни – это способность организма извлекать из окружающей среды химические соединения, молекулярная структура которых по большей части симметрична, и изготовлять из них правые или левые асимметрические соединения углерода. Растения, например, используют симметричные неорганические соединения вроде воды и углекислого газа и превращают их в асимметричные молекулы крахмала и сахара. Тела всех живых существ насыщены асимметричными молекулами, а также асимметричными спиралями белков и нуклеиновых кислот.

С вопросами зеркальной симметрии тесно связана и проблема возникновения жизни на Земле, появление которой связывают с нарушением существовавшей до того зеркальной симметрии в неживой природе. Согласно одной из гипотез (Л.Л. Морозов), переход от мира зеркально-симметричных молекул к чисто П- или Л-формам произошел не в процессе длительной эволюции, а скачком («Большой биологический взрыв»), в результате акта самоорганизации материи.

Винтовые оси симметрии видны в расположениях чешуек шишек и укладке коры пальм, структуре костной ткани и в побегах различных растений. На стебле подсолнечника явно видна винтовая ось пятого порядка. У растений существуют только определенные, строго фиксированные оси, но в большинстве своем не такие, как у кристаллов. Так, если злаки, липа, бук, береза образуют ось 21 (ботаническая дробь 2/1), осока, тюльпан, орешник, виноград и ольха - 31 (3/1), то дуб, вишня смородина, слива имеют ось 52 (5/2).

Биологические дроби не произвольны, а представляют собой члены двух последовательностей, составленных из чисел Фибоначчи.

Биологические дроби, описывающие винтовую симметрию растений, составлены из членов двух рядов. В обоих рядах числители есть числа Фибоначчи, начиная с четвертого члена - двойки. Знаменатели рядов различны. В первом числа Фибоначчи начинаются с третьего числа, а во втором - со второго.

Итак, первый ряд:

2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13…

Второй ряд:

2/1, 3/1, 5/2, 8/3, 13/5, 21/8…

До сих пор неизвестно, почему симметричное винтовое расположение листьев или чешуек в шишках точно связано с величиной определенного отношения, присутствующего в пространственных объектах, производящих особое эстетическое впечатление.

3.2 Симметрия неживой природы

симметрия гармония форма сохранение

В XIX веке физики часто использовали соображения, вытекающие из условий симметрии. Достаточно сказать, что многие задачи механики, и особенно статики, решались только исходя из условий симметрии. Но обычно эти условия достаточно простые и наглядные и не требуют детального рассмотрения. Впервые физики столкнулись с нетривиальным проявлением симметрии физических свойств при изучении кристаллов.

Четкое определение симметрии физических явлений дал Кюри в своей статье «О симметрии в физических явлениях: симметрия электрического и магнитного полей», опубликованной в 1894 году во французском «Физическом журнале».

Пьер Кюри пришел к симметрии физических явлений от симметрии кристаллов (геометрических фигур) через симметрию материальных фигур. Это принесло важные результаты при описании физических свойств кристаллов и обещает большие успехи в других областях физики.

Но работы Пьера Кюри не оказали влияния на развитие идеи симметрии в физике. Причины этого странного парадокса, кроме указанных ранее (кристаллографичность работ Кюри, краткость, если не конспективность их изложения), состоит еще и в том, что они появились слишком поздно, тогда, когда физика уже накопила большой опыт несколько иного подхода к симметрии физических явлений, который связан с развитием механики в XVII—XIX веках.

В то время механика была фактически всей физикой. Самым главным считалось изучение движения и взаимодействия тел. Окончательно эти законы были сформулированы Исааком Ньютоном (1643—1727). Но поскольку движение совершается в пространстве и во времени, ему пришлось обобщить и сформулировать некие положения, постулирующие их свойства.

Ньютон считал, что существует абсолютное пространство, свободное и независимое от каких-либо тел. Это абсолютное пространство изотропно, то есть любые направления в нем одинаковы. Кроме того, оно однородно, так как любые две точки пространства ничем не отличаются друг от друга. Существует также абсолютное время, независимое от каких-либо процессов, текущее вечно и равномерно. Равномерность течения времени предполагает его однородность: скорость течения времени со временем не меняется.