Задания для решения в аудитории

1. Найти начальное допустимое базисное решение задачи линейного программирования:

, .

2. Найти начальное допустимое базисное решение задачи линейного программирования:

, .

Указание: сначала выбрать в первой строке разрешающий элемент , потом в третьей – .

1.4.2. Составление и преобразование симплексных таблиц

Алгоритм решения задач линейного программирования симплексным методом:

1. Привести задачу линейного программирования к каноническому виду.

2. Привести систему ограничений (1) к допустимому виду (4) и найти начальное базисное решение. Если начальное допустимое базисное решение отсутствует, то условия задачи противоречивы и оптимального решения нет.

3. Составить первую симплексную таблицу. Если система ограничений (1) приведена к допустимому виду (3), а целевая функция (2) к виду (5), то первая симплексная таблица примет вид ( - базисные переменные, - свободные члены):

	1	0		0
	0	1		0
	0	0		1
	0	0		0						-

4. Предположим, что целевая функция (5) стремится к максимуму. Если задача линейного программирования на минимум , то ее можно свести к задаче на максимум путем умножения целевой функции на , то есть .В этом случае, если в последней строке первой симплексной таблицы (кроме числа ) все числа отрицательные, то есть все , то базисное решение является оптимальным и .

5. Пусть среди чисел имеется хотя бы одно положительное число, причем наибольшее из этих чисел находится в столбце , то есть это и пусть среди чисел этого столбца есть положительные числа. Для каждого такого числа составляем отношение . Из всех таких выражений выбираем наименьшее. Пусть оно соответствует строке (базисному неизвестному ), тогда - строка и - столбец – это разрешающие строка и столбец, а элемент - стоящий на их пересечении – разрешающий элемент.

6. Осуществим переход к новой таблице. Для этого разрешающую строку делим на , чтобы разрешающий элемент был = 1, а затем в -ом столбце с помощью -ой строки получаем нули, умножая строку на соответствующие числа и вычитая их из других строк таблицы. При этом старая базисная неизвестная станет свободной и заменится на новое базисное неизвестное . В результате будет осуществлен переход к новому базису .

7. С новой таблицей возвращаемся к выполнению пункта 4.

Пример 7. Решить симплексным методом задачу линейного программирования:

, (**), , .

Решение.

1. Приведем задачу к каноническому виду. Для этого введем балансовые переменные: (*).

2. Так как балансовые переменные введены с положительным знаком (знаки балансовых переменных совпадают со знаками свободных членов), то они могут быть выбраны в качестве базисных. То есть - базисные переменные, - свободные. Выразим базисные переменные через свободные: . Отсюда - начальное допустимое базисное решение. Целевая функция не зависит от базисных переменных, то есть уже выражена через свободные, следовательно - значение функции в начальном решении.

3. Составим начальную симплексную таблицу используя систему (*) и целевую функцию (**).

	1	3	5	1	0	0	15
	1	1	1	0	1	0	7
	2	1	4	0	0	1	12
	2	3	1	0	0	0	0	min

Решение не является оптимальным, так как в последней строке есть положительные числа. Максимальное из них равно и соответствует столбцу (разрешающий столбец). Для каждого положительного числа столбца найдем оценку и внесем эти оценки в последний столбец первой симплексной таблицы. Среди оценок выберем минимальную, то есть . Строка соответствующая минимальной оценке будет разрешающей. Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки является разрешающим, то есть - разрешающий.

4. Осуществим переход ко второй симплексной таблице.

Для этого разрешающую (первую) строку разделим на , чтобы разрешающий элемент был равен 1. Затем в разрешающем столбце необходимо получить все нули, кроме разрешающего элемента. При этом базисная переменная станет свободной, а - базисной. Для этого первую строку (после деления на ): вычтем из второй строки ( ),вычтем из третьей строки ( ), умножим на и вычтем из четвертой строки ( ).

	1/3	1	5/3	1/3	0	0	5
	2/3	0	-2/3	-1/3	1	0	2
	5/3	0	7/3	-1/3	0	1	7
	1	0	-4	-1	0	0	-15	min

Решение не является оптимальным, так как в последней строке есть положительное число , соответствующее столбцу (разрешающий столбец). Для каждого положительного числа столбца найдем оценку и внесем эти оценки в последний столбец второй симплексной таблицы. Среди оценок выберем минимальную, то есть . Строка соответствующая минимальной оценке будет разрешающей. Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки является разрешающим, то есть - разрешающий.

5. Осуществим переход к третьей симплексной таблице.

Для этого разрешающую (вторую) строку разделим на , чтобы разрешающий элемент был равен 1. Затем в разрешающем столбце необходимо получить все нули, кроме разрешающего элемента. При этом базисная переменная станет свободной, а - базисной. Для этого вторую строку (после деления на ): умножим на и вычтем из первой строки ( ); умножим на и вычтем из третьей строки ( ); вычтем из четвертой строки ( ).

	0	1	2	1/2	-1/2	0	4
	1	0	-1	-1/2	3/2	0	3
	0	0	4	1/2	-5/2	1	2
	0	0	-3	-1/2	-3/2	0	-18	min

Так как в последней строке нет положительных чисел, то из третьей симплексной таблицы - оптимальное решение, .