Задания для решения в аудитории

1. Решить задачу линейного программирования графическим методом.

, , .

2. Решить задачу линейного программирования графическим методом.

, , .

Задания для самостоятельной подготовки

1. Решить задачи линейного программирования графическим методом при :

1) 2) 3)

2. Решить задачи линейного программирования графическим методом при , :

1) 2)

Ответы: 1.1. . 1.2. . 1.3. Система ограничений не совместна. 2.1. . 2.2. , , .

1.4. Симплексный метод решения задач линейного программирования

Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном движении от одной вершины выпуклого многоугольника решений к соседней, от неё к следующей и так к оптимальной вершине по сторонам этого многоугольника.

Экономический смысл симплексного метода заключается в том, что он является методом последовательного улучшения решений и дает возможность, выбрав отправной опорный план действий, постепенно передвигаться вперед и в конечном итоге достичь оптимального плана, если, конечно, такой существует.

1.4.1. Нахождение начального допустимого базисного решения

Пусть задана задача линейного программирования в канонической форме

(1)

(2), , .

1. Составим расширенную матрицу из коэффициентов системы ограничений: . Методом Жордана - Гаусса приведем расширенную матрицу к разрешенному виду. Предположим, что в качестве разрешающих элементов выбраны коэффициенты соответствующие переменным . Тогда разрешенная матрица примет вид: .

Если количество ненулевых строк (ранг) полученной расширенной и основной (без столбца свободных членов) матрицы совпадает, то система (1) совместна (имеет решение).

2. Допустим, что в полученной разрешенной матрице не все свободные члены являются неотрицательными. Рассмотрим строку матрицы, содержащую отрицательный свободный член (любую, если их несколько). В этой строке выберем отрицательный элемент (любой, если их несколько) и сделаем его разрешающим элементом. Такие шаги повторяем до тех пор, пока не получим матрицу, в которой все неотрицательны.

3. Если среди чисел есть отрицательные, а в строке, содержащей отрицательный свободный член, отсутствует отрицательный элемент, то в этом случае начальное допустимое базисное решение получить невозможно, то есть условия задачи противоречивы.

4. Предположим, что после первого применения метода Жордана – Гаусса оказалось, что система (1) совместна, её ранг равен и все свободные члены неотрицательны. Тогда система ограничений, соответствующая разрешенной матрице примет вид:

(3)

Выразим переменные через остальные переменные :

(4)

Вид (3) и (4) называется допустимым для системы ограничений (2). При этом неизвестные называется базисным, а весь набор - базисом. Остальные переменные называются свободными.

5. Пусть , тогда из системы (4) найдем значения базисных неизвестных: , . Полученное таким образом решение системы (4) называется начальным допустимым базисным решением.

6. Подставим в целевую функцию (2) вместо базисных переменных их выражения через свободные:

. (5)

Для полученного базисного решения значение целевой функции .

7. Если изначально система ограничений задачи линейного программирования была записана в стандартной форме и после её приведения к каноническому виду каждая балансовая переменная входит в уравнение системы ограничений с тем же знаком, что и свободный член, стоящий в правой части уравнения, то балансовые переменные берутся в качестве базисных переменных. При этом получается допустимое решение.

Пример 6. Найти начальное допустимое базисное решение задачи линейного программирования

, .

Решение. Для системы ограничений составим расширенную матрицу: .

Выберем в первой строке разрешающий элемент, например . Умножим первую строку на и вычтем ее из второй строки ( ): . Разделим вторую строку на : . Выберем во второй строке разрешающий элемент, например . Умножим вторую строку на и вычтем ее из первой строки ( ): .

Последняя матрица имеет разрешенный вид. При этом в первой строке свободный член отрицательный, а разрешающий элемент положительный (знаки не совпадают).

Выберем в первой строке отрицательный элемент, например (можно взять ) и сделаем его разрешающим. Для этого разделим первую строку на : . Первую строку прибавим ко второй ( ): . Матрица имеет разрешенный вид и все свободные члены отрицательные.

Из полученной разрешенной матрицы составим систему ограничений: . Переменные соответствующие разрешающим элементам - базисные, а - свободные. Выразим базисные переменные через свободные: . Подставим вместо свободных переменных любые числа, например нули: . Отсюда - начальное допустимое базисное решение.

Подставим в целевую функцию вместо базисных переменных их выражения через свободные: , - выражение целевой функции через свободные переменные, - значение целевой функции в начальном допустимом базисном решении.