1. Методы изучения структуры системы: топологический анализ, понятие покрытия (разбиения) и иерархии.

Топологический анализ данных — область теоретических исследований для задач анализа данных (Data mining) и компьютерного зрения.

Основные вопросы:

1. Как из низкоразмерных представлений получать структуры высоких размерностей;

2. Как дискретные единицы складываются в глобальные структуры.

Человеческий мозг легко строит представление об общей структуре по частным данным низких размерностей. Ему, например, не составляет труда получить трехмерную форму объекта по плоским изображениям в каждом глазу. Создание общей структуры также производится при объединении дискретных во времени фрагментов в непрерывный образ. Так, например, телевизионное изображение технически является массивом отдельных точек, который, однако, воспринимается как единая сцена.

Основной метод топологического анализа данных:

1. Замена набора элементов данных некоторым семейством симплициальных комплексов в соответствии с параметром близости.

2. Анализ этих топологических комплексов с помощью алгебраической топологии, а конкретно новой теорией устойчивых гомологий.

3. Перекодировка устойчивой гомологии набора данных в параметризованную версию чисел Бетти, далее называемую штрихкодом.

2. Способы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной: построение общего критерия, выделение главного критерия, использование пороговых критериев, введение меры расстояния в критериальном пространстве.

Выбор в условиях нескольких критериев. Сложность отыскания наилучшей альтернативы возрастает, когда необходимо рассматривать альтернативы не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. Например, выбор конструкции самолета предполагает учет многих критериев (технических - высота, скорость, маневренность, грузоподъемность), безопасности полетов, технологических, экологических, экономических, эргономических. В обыденной жизни - выбор подарка, выбор места для стоянки в турпоходе.

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев qi(x), i= 1,2,3...,р. Теоретически можно представить себе случай, когда во множестве Х окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями р всех критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как осуществлять выбор (например, на рис. 1 множеству Х соответствуют внутренние точки фигуры на плоскости значений двух критериев q1 и q2; оба критерия желательно максимизировать).

Существует несколько способов выбора альтернатив в условиях нескольких критериев. К ним, в частности, относятся такие как

* сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

* условная максимизация

* поиск альтернативы с заданными свойствами

* нахождения множества Парето.

1. Свеение многокритериальной задачи к однокритериальной

Этот способ состоит в введении некоего суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента и называется также линейной сверткой:

q0(x)=q0(q1(x),q2(x),…qp(x)) (1)

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине , выделив тем самым наилучшую (по этому критерию) альтернативу. Вид функции определяется те, как мы представляет себе вклад каждого критерия в суперкритерий. Обычно при этом используются аддитивные или мультипликативные функции:

q0(x) = (2)

1-q0(x) = (3)

Коэффициенты Si обеспечивают, во-первых, безразмерность числа qi(x)/Si, так как частные критерии могут иметь различную размерность и тогда некоторые арифметические операции, например, сложение, могут не иметь смысла. Во-вторых, в необходимых случаях c их помощью выполняется условие нормировки. Коэффициенты ai, bi отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий, т.е. являются весовыми коэффициентами.

Если не требуется обеспечивать безразмерность, функция (2) записывается в более простом виде:

q0(x) = (4)

Таким образом, задача сводится к максимизации суперкритерия:

x* = arg max q0(q1(x), q2(x),….qp(x)). (5)

Трудности и недостатки метода. Упорядочение точек в многомерном пространстве не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Роль такой упорядочивающей функции играет суперкритерий, и даже очень малое его изменение может привести к тому, что новая оптимальная альтернатива будет очень сильно отличаться от старой. Пример: на рисунке 1а видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при простой смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции (2), что выражается в изменении наклона соответствующей прямой:

Заметим, что линейные комбинации частных критериев придают упорядочению следующий смысл: «чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше». На рисунке 1а направления, соответствующие суперкритериям изображены стрелками. Такое упорядочивание в многомерном пространстве свойственно некоторым балльным системам оценки вариантов.

Другой вариант поиска альтернативы, самой удаленной от нуля, дает максимизации минимального критерия:

что означает поиск вокруг направления методом «подтягивания самого отстающего». Этот критерий называется также максиминным.

3. Типы моделей принятия решений. Одноцелевые и многоцелевые принятия решений.

Одноцелевыми называются модели, когда имеется одна четко определенная цель, к достижению которой стремится организация, либо несколько целей, агрегированных в виде одной комплексной цели. В последнем случае степень достижения цели определяется с помощью специально разрабатываемого комплексного критерия.

Многоцелевыми называются модели, в которых предполагается стремление к достижению нескольких независимых целей, несводимых к одной комплексной.

4. Метод функции полезности

Функция полезности.

Пусть заданы критерии K 1 ,…,K n ; X = { x | x = (x 1 ,…,x n ) } – множество

векторых оценок вариантов по этим критериям. Пусть на X задано R – отношение

предпочтения. Числовая функция f : X → R , называется функцией полезности

(ценности, предпочтительности), если она обладает следующим свойством:

f(x) ≥ f(y) ⇔ x R y.

Если известна функция полезности, то поиск оптимального варианта

сводится к задаче нахождения x* = arg max f(x), x∈X – аргумента максимума

функции полезности на множестве X.

Как найти функцию полезности? Методы построения функции полезности

делятся на эвристические и аксиоматические.

К эвристическим методам можно отнести метод главного критерия и метод

обобщенного критерия.

Метод главного критерия сводится к оптимизации по одному выбранному

критерию, при условии, что остальные критерии не больше (или не меньше)

приемлемых значений.

Метод обобщенного критерия заключается в свёртке набора критериев в

числовую функцию, которая и будет являться функцией полезности.

Виды свёрток:

1) аддитивная свёртка: f = α 1 K 1 +…+α n K n ;

2) мультипликативная свёртка: f = exp(α 1 ln(K 1 )+…+α n ln(K n )) = = 1

3) приведенная свёртка: f = min(K i /α i ) по всем i=1…n (или f = max(K i /α i ) по

всем i=1…n).

Аксиоматические методы построения функции полезности – это

формальные методы, основанные на том, что формулируются специальные

предположения (аксиомы) о свойствах предпочтения, выполнение которых

гарантирует существование функции полезности конкретного вида.

Обычно, при использовании таких методов функцию полезности строят в

аддитивном виде:

f = λ 1 f 1 +…+λ n f n (*)

как сумму функций полезности по каждому критерию с некоторыми

весовыми коэффициентами λ 1 ,…,λ n . Пусть K I ⊂ K = {K 1 ,…,K n } – подмножество множества критериев, т.е. группа

критериев с номерами из множества I = {i 1 ,…,i m }. Ī = {1,…,n}\I. Тогда K Ī – все

остальные критерии, а векторная оценка x представляется в виде (x I ,x Ī ).

Говорят, что критерии K I не зависят по предпочтению от критериев K Ī , если

предпочтения для любых двух оценок x = (x I ,x Ī ) и x’ = (x I ’,x Ī ), содержащих

одинаковые компоненты с номерами из Ī, не зависят от самих значений этих

компонент.

Пример 1.

n = 5, I = {1,3,4}, Ī = {2,5}.

x = (7,1,2,8,2) = (x I ,x Ī ), где x I = (7,2,8), x Ī = (1,2).

y = (4,1,8,3,2) = (y I ,y Ī ), где y I = (4,8,3), y Ī = (1,2).

Таким образом, x Ī = y Ī .

Если критерии K I не зависят по предпочтению от критериев K Ī и оценка

x предпочтительнее, чем оценка y, то и, например, оценка x 1 = (7,4,2,8,5) будет

предпочтительнее, чем y 1 = (4,4,8,3,5), потому что их значения по критериям из

группы K I совпадают с соответствующими значениями оценок x и y, а оценки по

остальным критериям одинаковые. Таким образом, вместо x Ī = y Ī = (1,2) можно

подставить любую оценку (a,b) и предпочтение сохранится: (7,a,2,8,b)

предпочтительнее, чем (4,a,8,3,b).

Критерии K 1 ,…,K n такие, что любой набор K I из них не зависит по

предпочтению от остальных критериев K Ī , называются взаимно независимыми по

предпочтению.

Теорема Дебре (критерий существования аддитивной функции полезности):

функция полезности может быть задана в аддитивном виде (*) тогда и только

тогда, когда критерии K 1 ,…,K n взаимно независимы по предпочтению (при n≥3).

При n=2, кроме взаимной независимости критериев, требуется выполнение

условия соответственных замещений (при n≥3 оно выполняется автоматически):

∀x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,a,b,c,d если (x 1 ,x 2 ) ∼ (x 1 –a,x 2 +b) и (x 1 ,y 2 ) ∼ (x 1 –a,y 2 +c), то

(y 1 ,x 2 ) ∼ (y 1 –d,x 2 +b) и (y 1 ,y 2 ) ∼ (y 1 –d,y 2 +c).

Т.е., если увеличение на b и c разных значений x 2 и y 2 критерия K 2 при

некотором опорном значении x 1 критерия K 1 компенсируется одним и тем же

уменьшением этого значения x 1 критерия K 1 , то такие же увеличения b и c тех же значений x 2 и y 2 критерия K 2 сохраняются и при любом другом опорном значении

y 1 критерия K 1 .

Как осуществляется проверка взаимной независимости критериев по

предпочтению?

Непосредственно по определению проверить независимость критериев

затруднительно, т.к. даже при небольших n возникает большое число вариантов,

которые надо проверить.

Утверждение (Леонтьева-Гормана): если любая пара критериев { K i , K j } не

зависит по предпочтению от остальных (n-2) критериев, то все критерии K 1 ,…,K n

взаимно независимы по предпочтению.

Таким образом, проверка сводится к установлению независимости только

всех пар критериев от всех остальных критериев.

5. Моделирование поведения систем различных типов. Кибернетические системы.

Кибернетическая система - система, состоящая из множества взаимосвязанных объектов, способных воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться ею. [1]

Кибернетические системы предназначены для решения задач, существенно более сложных, чем задача автоматического регулирования. [2]

Кибернетические системы могут рассматриваться; как системы, которые принимают, обрабатывают или накапливают информацию, а затем преобразовывают ее в сигналы для воздействия на окружающую среду. [3]

Кибернетические системы являются вероятностными, и поэтому они всегда связаны с неопределенностью. Как же проявляется неопределенность в поведении машин и как практически ввести в них элементы случайности. Теоретически этот вопрос решается очень изящно с помощью статистической алгебры; в описательном смысле его можно решить за счет использования какого-нибудь подходящего устройства, вносящего в систему шум. Однако практическое решение этой задачи в полном объеме связано со значительными трудностями, возможные пути устранения которых предлагаются в этой главе. [4]

Кибернетическая система подвержена всевозможным внешним воздействиям. Но из этих воздействий при управлении можно выделить те, которые оказывают существенное влияние на оптимальное функционирование системы. Элементы системы, к которым приложены входные воздействия, называются входами систем. [6]

Кибернетическая система воздействует на окружающую среду своими выходными величинами. [7]

Кибернетические системы могут быть статические и динамические. [8]

Кибернетическая система подвержена внешним воздействиям. Из этих воздействий всегда можно выделить те, которые имеют существенное влияние на кибернетическую систему. К таким воздействиям относятся прежде всего входные воздействия. Элементы системы, к которым приложены входные воздействия, называются входами систем. [9]

Кибернетическая система взаимодействует с окружающей средой главным образом через выходные воздействия. [10]

Кибернетическая система позволяет рассматривать передаточ-ный коэффициент не только как выражение функции равновесия, но главным образом как выражение усиления. Такое усиление передаточной функции закономерно, оно создается за счет памяти учащихся и подключения к обучающей системе каналов самообучения. Входы и выходы системы передают и принимают информацию и реагируют на нее, создавая определенное функциональное состояние постоянно увеличивающегося объема знаний. [11]

Многоэлементные кибернетические системы строятся из набора ( обычно конечного) М элементов путем отождествления выходных сигналов одних элементов с входными сигналами других. [12]

Кибернетические системы автоматического управления, способные к обучению. [13]

Всякая кибернетическая система ( автомат или комплекс автоматов) решает конкретные задачи в определенной среде. Поэтому различие самой системы и среды предполагает необходимость выделения в системе такой подсистемы, которая ответственна за ориентацию в данной конкретной среде или за решение данной конкретной задачи. Наряду с таким текущим решением неотложных задач всякая кибернетическая система занята планированием своего поведения в целом. [14]

6. Моделирование повеения систем различных типов. Модели без управления. Оптимизационные системы.

Модели оптимизации систем

Способы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной: построение общего критерия, выделение главного критерия, использование пороговых критериев, введение меры расстояния в критериальном пространстве. Схемы свертки частных критериев: аддитивная, мультипликативная, максиминная свертки. Построение множества Парето. Принцип Парето. Принятие решений в системах с учетом воздействия внешней среды. Стратегия наихудшей реакции внешней среды. Стратегия равновесия Нэша. Компромиссные решения. Устойчивые решения. Взаимосвязь равновесных и эффективных решений. Решение задачи принятия решений на основе функции выбора.

Оптимизационные модели

Их так же разбивают на стационарные и динамические. Стационарные модели используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические – как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами – технологическими, экономическими и др.

В задачах оптимизации имеется два направления. К первому относятся детерминированные задачи. Вся входная информация в них является полностью определяемой.

Второе направление относится к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые параметры носят случайный характер или содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.

Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных задач.

В математическом программировании выделяются следующие основные разделы[8] :

Линейное программирование. Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств.

Нелинейное программирование. Целевая функция нелинейная и нелинейные ограничения.

Выпуклое программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная задача.

Квадратичное программирование. Целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные равенства и неравенства.

Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными.

Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности.

Как правило, к задачам математического программирования неприменимы методы классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.

Модели теории оптимального управления – одни из важных в оптимизационных моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами.

Различают три вида математических моделей теории оптимального управления[9] . К первому виду относятся дискретные модели оптимального управления. Традиционно такие модели называют моделями динамического программирования. Широко известен метод динамического программирования Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые задачам Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными параметрами.

7. Модели анализа конфликтных ситуаций.

8. Методы описания поведения систем: структурно-параметрические, функционально-операторные, информационные, целевого управления

Метод "мозговой атаки"

Группа исследователей (экспертов) разрабатывает способы решения поставленной задачи, при этом любой способ (любая мысль, высказанная вслух) включается в число рассматриваемых, чем больше идей - тем лучше. На предварительном этапе качество предложенных способов не учитывается, то есть предметом поиска является создание возможно большего количества вариантов решения задачи. Но для достижения успеха должны соблюдаться следующие условия:

• наличие вдохновителя идей;

• группа экспертов не превышает 5-6 человек;

• потенциал исследователей соизмерим;

• обстановка спокойная;

• соблюдены равные права, может быть предложено любое решение, критика идей не допускается;

• продолжительность работы не более 1 часа.

После того, как прекращается "поток идей", эксперты осуществляют критический отбор предложений, учитывая ограничения организационного и экономического характера. Отбор лучшей идеи может осуществляться по нескольким критериям.

Данный метод наиболее продуктивен на этапе разработки решения по реализации поставленной цели, при раскрытии механизма функционирования системы, при выборе критерия решения проблемы.

Метод "концентрации внимания на целях поставленной проблемы"

Этот метод состоит в том, что отбирается один из объектов (элементов, понятий), ассоциируемых с решаемой проблемой. При этом известно, что принятый к рассмотрению объект связан непосредственно с конечными целями этой проблемы. Затем исследуется связь между этим объектом и каким-либо другим, выбранным наугад. Далее отбирается третий элемент, точно также наугад, и исследуется его связь с первыми двумя и так далее. Таким образом создается некая цепь связанных между собой объектов, элементов или понятий. Если цепь обрывается, то процесс возобновляется, создается вторая цепочка и так далее. Таким образом происходит исследование системы.

Метод "входы-выходы системы"

Исследуемая система рассматривается обязательно совместно с окружающей средой. При этом особое внимание обращается на ограничения, которые накладывает внешняя среда на систему, а также ограничения, свойственные самой системе.

На первом этапе изучения системы рассматриваются возможные выходы системы и оцениваются результаты ее функционирования по изменениям окружающей среды. Затем исследуются возможные входы системы и их параметры, позволяющие системе функционировать в рамках принятых ограничений. И, в конце концов, на третьем этапе выбирают приемлемые входы, не нарушающие ограничения системы и не приводящие ее в рассогласование с целями окружающей среды.

Данный способ наиболее эффективен на этапах познания механизма функционирования системы и принятия решений.

Метод сценариев

Особенность метода состоит в том, что группа высококвалифицированных специалистов в описательной форме представляет возможный ход событий в той или иной системе - начиная от сложившейся ситуации и заканчивая некоторой результирующей ситуацией. При этом соблюдаются искусственно воздвигаемые, но возникающие в реальной жизни ограничения на вход и выход системы (по сырью, энергетическим ресурсам, финансам и так далее).

Основная идея данного метода - выявление связей различных элементов системы, которые проявляются при том или ином событии или ограничении. Результатом такого исследования является совокупность сценариев - возможных направлений решения проблемы, из которых путем сопоставления по какому-либо критерию можно было бы выбрать наиболее приемлемые.

Морфологический метод

Данный метод предусматривает поиск всех возможных решений проблемы путем исчерпывающей переписи этих решений. Например, Ф.Р.Матвеев выделяет шесть этапов претворения в жизнь этого метода:

• формулировка и определение ограничений проблемы;

• поиск возможных параметров решений и возможных вариаций этих параметров;

• нахождение всех возможных комбинаций этих параметров в получаемых решениях;

• сравнение решений с точки зрения преследуемых целей;

• выбор решений;

• углубленное изучение отобранных решений.

Методы моделирования.

Модель представляет собой некоторую систему, созданную с целью представления в упрощенной и понятной форме сложной реальности, другими словами - модель представляет собой имитацию этой реальности.

Проблемы, решаемые при помощи моделей, многочисленны и разнообразны. Важнейшие из них:

• с помощью моделей исследователи пытаются лучше понять протекание сложного процесса;

• с помощью моделей осуществляют экспериментирование в том случае, когда это невозможно на реальном объекте;

• с помощью моделей оценивают возможность осуществления различных альтернативных решений.

Кроме того модели обладают такими ценными свойствами как:

• воспроизводимостью независимыми экспериментаторами;

• изменчивостью и возможностью совершенствования путем введения в модель новых данных или модификаций связей внутри модели.

Среди основных типов моделей следует отметить символические и математические модели.

Символические модели - схемы, диаграммы, графики, блок-схемы и так далее.

Математические модели - абстрактные построения, которые в математической форме описывают связи, отношения между элементами системы.

При построении моделей необходимо соблюдать следующие условия:

• иметь достаточно большой объем информации о поведении системы;

• стилизация механизмов функционирования системы должна происходить в таких пределах, чтобы имелась возможность достаточно точно отразить число и природу отношений и связей существующих в системе;

• использование методов автоматической обработки информации, особенно когда количество данных велико или природа взаимоотношений между элементами системы весьма сложна.

Вместе с тем математические модели имеют некоторые недостатки:

• стремление отразить изучаемый процесс в форме условий приводит к модели, которая может быть понятна только ее разработчику;

• с другой стороны, упрощение ведет к ограничению числа факторов, включенных в модель; следовательно, появляется неточность в отражении действительности;

• автор, создав модель, "забывает", что не учитывает действие многочисленных, может быть малозначительных факторов. Но совместное воздействие этих факторов на систему бывает таково, что конечные результаты не могут быть достигнуты на данной модели.

С целью нивелирования указанных недостатков модель необходимо проверить:

• насколько она правдоподобно и удовлетворительно отражает реальный процесс;

• вызывает ли изменение параметров соответствующее изменение результатов.

Сложные системы, в силу наличия множества дискретно функционирующих подсистем, как правило не могут быть адекватно описаны с помощью только математических моделей, поэтому широкое распространение получило имитационное моделирование. Имитационные модели получили большое распространение по двум причинам: во-первых, данные модели позволяют использовать всю располагаемую информацию (графическую, словесную, математические модели…) и, во-вторых, потому, что эти модели не накладывают жестких ограничений на используемые исходные данные. Таким образом имитационные модели позволяют творчески использовать всю имеющеюся информацию об объекте исследования.

9. Методы эвристического моделирования

Эвристический подход к моделированию используется в современном системном анализе плохо структурированных проблем, основанном на экспертных оценках.

Эвристические модели стали основой ряда методов решения проблем, воплотивших в себя опыт системного анализа сложных задач стратегического планирования и прогнозирования. Большинство из этих методов рождались в связи с решением какой-либо конкретной проблемы, чаще всего на правительственном уровне.

Центральной идеей всех методов является декомпозиция сложных высокоабстрактных вопросов на ряд простых последовательных задач, доступных для понимания и адекватного восприятия экспертом.

Эвристические методы решения проблем можно условно разделить на две категории: матричные и графовые.

10. Матричные методы

Сущность матричных методов состоит в построении некоторой иерархической или сетевой структуры, отражающей взаимные влияния и последовательность достижения различных целей, приводящих к решению исследуемой модели.

Морфологический метод. Разработан в 40-х годах ХХ века швейцарским астрономом Ф Цвики. Основная идея метода – систематически находить все мыслимые варианты решения проблемы путем комбинирования выделенных элементов и их характеристик. Цвики предложил три методп морфологического исследования.

Первый - метод систематического покрытия поля, основанный на выделении так называемых опорных пунктов знания в любой исследуемой области и использовании для заполнения поля некоторых сформулированных принципов мышления.

Второй - метод отрицания и конструирования, базирующийся на идее, состоящей в том, что на пути конструктивного прогресса стоят догмы и компромиссные ограничения, которые есть смысл отрицать, и следовательно, сформулировав некоторые предложения, полезно заменить на противоположные и использовать при проведении анализа.

Третий – метод морфологического ящика, идея которого состоит в определении всех мыслимых параметров, от которых может зависеть решение проблемы. Например, при прогнозировании развития телескопов в качестве таких параметров выделяются принципиальные схемы – рефрактор, рефлектор; возможные варианты среды, в которой проходят лучи в трубе телескопа - газ, вакуум, жидкость, твердое тело; способы обеспечения необходимого состояния этой среды и т.д. Затем эти параметры представляют в виде матриц-строк, называемых морфологическим ящиком. Затем формируются различные варианты решения проблемы путем перебора всех возможных сочетаний параметров. Общее число вариантов:

В процессе анализа каждого из сформированных вариантов эксперт определяет те из них, которые перспективны с точки зрения достижения определенной цели.

Методы Цвикке использовались для решения таких задач как разработка двигателей для ракет и самолетов, разработки телескопов и планирования исследований в астрономии, анализ перспектив развития техники для получения вакуума и др.

Метод QUEST (Quntitative Estimates for Science and Technology). Предназначен для распределения ресурсов, выделяемых на исследования и разработки, исходя из их возможного вклада в решение определенного круга задач. Метод предполагает четыре этапа;

1. Оценка значимости различных задач.

2. Оценка возможного вклада различных отраслей техники в решение указанных задач как в случае обычного, так и в случае дополнительного финансирования.

3. Определение суммарной значимости каждой отрасли для решения всей совокупности задач:

где - суммарная значимость i-той отрасли;

- суммарная значимость j-той задачи;

- вклад i-той отрасли в решение j-той задачи.

Распределение ресурсов между отраслями в соответствии с их суммарными значимостями.

Аналогичная процедура проводится для получения оценок научных направлений, содействующих развитию различных отраслей техники. На основе этих оценок производится распределение ресурсов между научными направлениями.

Метод решающих матриц. Предложен в 1966 году Г.С.Поспеловым и использовался при планировании средств на фундаментальные исследования.

Для решения проблемы предлагалось выделить основные цели исследований, указать их относительные веса α1,…, αn, (веса должны быть пронормированы α1,+…,+ αn,=100) и перечислить опытно конструкторские работы (β1,…, β m,), прикладные (γ1,…, γ k) и фундаментальные исследования (δ1,…, δ l), необходимые для достижения этих целей (рис.5).

исследований, работ и целей

Следует учесть, что опытно – конструкторские разработки могут служить нескольким целям. В методе решающих матриц эксперт должен указать относительную значимость каждой опытно – конструкторской работы для достижения различных целей, т.е. построить решающую матрицу 1;

где - значимость опытно-конструкторской работы βi для достижения цели αj, (относительные значимости работы βi должны быть пронормированы):

Используя решающую матрицу , можно для заданных α1,…, αn, получить относительные веса опытно-конструкторских работ:

Аналогично составляется вторая решающая матрица , характеризующая значимость различных направлений прикладных исследований для обеспечения опытно-конструкторских работ.

На основании известных весов βi и решающей матрицы вычисляются относительные веса прикладных исследований γi.

Затем составляется третья решающая матрица , характеризующая относительную важность фундаментальных исследований, необходимых для завершения соответствующих прикладных разработок и вычисляются относительные веса фундаментальных исследований δi.

11. Графовые методы

Метод дерева целей. Идея метода дерева целей впервые была предложена У. Черменом в связи с проблемами принятия решений в промышленности.

Термин «дерево» подразумевает использование иерархической структуры, полученной путем разделения обшей цели на подцели, а их, в свою очередь, на более детальные составляющие, которые можно называть подцелями нижележащих уровней или, начиная с некоторого уровня, — функциями. Как правило, термин «дерево целей» используется для иерархических структур, имеющих отношения строго древовидного порядка, но сам метод иногда применяется и в случае «слабых» иерархий, в которых одна и та же вершина нижележащего уровня может быть одновременно подчинена двум или нескольким вершинам вышележащего уровня.

При использовании метода «дерево целей» в качестве средства принятия решений часто вводят термин «дерево решений». При применении «дерева» для выявления и уточнения функций управления говорят о «дереве целей и функций». При структуризации тематики научно-исследовательской организации удобнее пользоваться термином «дерево проблемы», а при разработке прогнозов — термином «дерево направлений развития (или прогнозирования развития)» или упомянутым выше термином «прогнозный граф».

Метод «дерева целей» ориентирован на получение полной и относительно устойчивой структуры целей, проблем, направлений, т.е. такой структуры, которая на протяжении какого-то периода времени мало изменялась при неизбежных изменениях, происходящих в любой развивающейся системе. Для достижения этого при построении вариантов структуры следует учитывать закономерности целеобразования и использовать принципы и методики формирования иерархических структур целей и функций.

Пример. Требуется проанализировать деятельность предприятия на предмет повышения эффективности его функционирования.

для реализации цели 1 «Повышение эффективности функционирования предприятия» необходимо реализовать как минимум три цели:

1.1. «Внедрение новой техники»;

1.2. «Совершенствование организации производства»;

1.3. «Совершенствование системы управления».

Выявив указанные подцели, необходимо исследовать и проанализировать факторы, способствующие их достижению. Рассмотрим их в

Следует иметь в виду, что для анализа организации на основе системы целей необходимо выявить и сформулировать совокупность всех целей функционирования на каждом уровне системы управления. В таком случае дерево целей будет наиболее полным. Главная задача такой структуризации заключается в том, чтобы довести цель до каждого конкретного подразделения и исполнителя. Это является залогом успешной реализации функциональной стратегии организации.

В результате проведения системного анализа необходимо дать предложения по обоснованию целесообразности рационализации системы управления. На основе таких предложений выполняются следующие работы:

1. Принимается решение о внедрении выбранной модели системы управления;

2. Разрабатывается регламентирующая документация;

3. Разрабатывается конечная схема процесса управления;

4. Разрабатываются конкретные организационно-технические мероприятия по совершенствованию управления предприятием;

5. Выбираются конкретные научно обоснованные методы управления;

6. Формируется новая корпоративная культура.

Разновидностью метода «дерева целей» является метод PATTERN (Planning Assistance Through Technical Evaluation of Relevance Numbers – поддержка планирования с помощью оценки относительных показателей). Применялся для принятия решений в области долгосрочной научно-технической ориентации крупной промышленной компании.

Сущность метода состоит в том, что исходя из сформулированных (на основе всестороннего анализа) целей потребителя продукции компании на прогнозируемый период осуществляется развертывание некоторой многоуровневой иерархической структуры «дерева целей» (рис.6).

Для каждого уровня дерева целей вводится ряд критериев. С помощью экспертной оценки определяются веса критериев, а также коэффициенты значимости, характеризующие важность вклада целей в обеспечение критериев.

Значимость некоторой цели определяется коэффициентом связи:

Общий коэффициент связи некоторой цели (с точки зрения достижения цели высшего порядка) определяется путем перемножения соответствующих коэффициентов связи в направлении вершины дерева.

Метод SEER (System for Event Evaluation and Review – система оценки и обзора событий). Основан на использовании дельфийской процедуры экспертного оценивания для построения иерархии целей и определении событий, желаемых и необходимых для достижения этих целей. Решение задачи осуществляется в два этапа.

На первом этапе в качестве экспертов привлекаются специалисты промышленности, которые составляют предварительный список возможных свершений в рассматриваемой области, а также определяют три даты свершения каждого события: дату «приемлемой вероятности» свершения (Р = 0,2), дату «весьма вероятного» свершения (Р=0,5) и дату «почти достоверного» свершения (Р=0,8).

Эксперты второго этапа – наиболее квалифицированные ученые и специалисты из органов, принимающих решения, определяют наиболее важные события и возможные взаимодействия между ними.

Полученная информация используется для построения графа, отражающего взаимосвязи целей и событий (рис.7). В 60-е годы ХХ века методика SEER применялась для прогнозирования в области техники переработки информации.

Метод прогнозного графа. Разработан в 70-х годах ХХ века авторским коллективом во главе с В.М. Глушковым и предназначен для прогнозирования и планирования научных и технических работ на основе так называемого государственного графа прогнозирования решения научно-технических проблем.

Процедура построения графа представляет собой «развертку» некоторой проблемы (рис.8) из будущего в настоящее с определением ожидаемых и необходимых для ее решения промежуточных событий и причинно-следственных связей между ними.

В экспертизе могут участвовать сотни экспертов, выдвигающих последовательно научно-технические условия достижения определенного уровня целей.

Фиксация каждого из событий графа сопровождается системой количественных оценок:

- ожидаемое время свершения j-того события;

- относительная вероятность перехода за время t от i-того события к j – тому событию;

- стоимость реализации указанного шага;

- относительная значимость i – того события для свершения j-того события;

На основании полученной информации рассчитываются абсолютные вероятности Р и сроки t свершения целевых событий.

В общем случае для достижения конечной цели может существовать несколько альтернативных планов. Планом является подграф прогнозного графа. Чтобы сократить число альтернативных вариантов, на множестве планов вводится расстояния. Близость планов и может определяться по формуле:

Где - число общих целей и число различных целей в планах и .

Если варианты планов близки, то можно попытаться прийти к единому варианту.

Построение прогнозного графа завершается, когда эксперты доходят до уровня событий, для реализации которых нет необходимости проводить дополнительные исследования. Такие события - существующие или находящиеся в стадии завершения научные проектные разработки, патенты, лицензии и др. – составляют нижний уровень графа.

Прогнозные графы использовались при создании средств обработки информации и для оценки перспектив развития вычислительной техники.

Метод анализа иерархий. Предложен американским математиком Т Саати в начале 70-х гг. Основой метода является построение иерархии факторов, действующих в анализируемой проблеме, и установление относительных приоритетов этих исследуемых объектов.

Общая цель – фокус проблемы – является высшим уровнем иерархии. За фокусом следует уровень наиболее важных критериев – первичных факторов. Каждый из критериев может разделяться на субкритерии, за которыми следует уровень объектов анализа.

В некоторые иерархии может быть включен уровень действующих сил (акторов), который расположен ниже уровня критериев. Уровень определяет, какой из акторов наибольшим образом воздействует на исход.

За этим уровнем для каждого актора следует уровень целей акторов, за которым может следовать уровень политик акторов и далее - уровень объектов (альтернативных исходов).

работа экспертов состоит в оценке:

относительной значимости первичных факторов с точки зрения фокуса проблемы;

степени относительного влияния акторов на первичные факторы;

относительной важности целей для каждого из акторов;

степени относительного влияния возможных альтернативных исходов на достижение различных целей акторов.

Метод применялся для исследования транспортных систем, распределения финансовых средств, разработки авиационной техники, планирования в промышленности, образовании, исследовании развития политических сценариев и т.д.

12. Иерархия факторов

Целью построения модели является структурирование предметной области и задачи анализа, которое заключается в следующем:

определение и структурирование исследуемого объекта, явления и классификацию их основных свойств;

выделение факторов, оказывающих влияние на исследуемый объект или явление;

классификацию, определение взаимосвязей и построение иерархии факторов;

формирование критерия, определяющего отношения между значениями факторов и анализируемым явлением или свойством исследуемого объекта;

Источником информации при построении модели может служить специальная литература, техническая документация, эксперты и лица, принимающие решения.

Определим иерархию факторов следующим образом. Пусть задано множество факторов, составляющих модель предметной области:

Зададим на множестве F отношение подчиненности , отражающее для каждой пары факторов иерархическую зависимость одного фактора от другого. Данное отношение может быть представлено с помощью матрицы отношений, элементы которой:

Суммы строк и столбцов этой матрицы:

характеризуют роли факторов в иерархии (рис.9):

фактор является корневым, если сумма соответствующего ему столбца равна нулю: ;

фактор образует лист иерархии, если сумма соответствующей ему строки равна нулю - .

Множество факторов, порожденных одним исходным фактором, образует семейство (строка матрицы П). В строгой иерархии семейства не пересекаются друг с другом, т.е. каждый порожденный фактор связан с одним исходным.

Однако в реальной жизни часто возникает ситуация, когда один и тот же порожденный фактор связан более, чем с одним исходным, т.е. одновременно в несколько семейств. Такую иерархию называют нестрогой. От обычного направленного графа нестрогая иерархия отличается отсутствием петель и циклов.

Если относительные значимости нормированы, т.е.

Приведенное утверждение не касается факторов, образующих листья иерархии, - соответствующие им строки имеют нулевую сумму, а их значения не вычисляются, а оцениваются экспертами.

Оценка значений факторов, образующих листья иерархии, выполняется экспертами. Остальные факторы, включая корень, рассматриваются как линейные свертки порожденных ими семейств с учетом значимости каждого фактора семейства.

Корневой фактор определяется: f1 - критичность оборудования f2 - технологическая значимость и важность; f3 - характер процесса старения; f4 - качество функционирования

Значимость определяется: f5 - стоимость; f6 - важность для безопасности атомной станции; f7 - стоимость его восстановления. f14 - способ восстановления

Чувствительность оборудования к старению определяется: f8 - условия эксплуатации f9 - режимы эксплуатации; f10 - наиболее характерная причина отказа; f11 - внезапность наступления отказа.

Качество оборудования зависит от: f12 - надежность оборудования; f13 - «глубина выработки ресурса».

Не все факторы поддаются количественной оценке и не всегда ее можно корректно использовать. Так качественный фактор f14 ( способ восстановления) и количественный f13 («глубина выработки ресурса») оценивается лишь для дополнения картины, а фактор f5 - стоимость, вообще оказалось невозможно оценить в условиях инфляции.

В соответствии с указанными в ходе экспертизы относительными значимостями факторов:

В качестве критерия, определяющего анализируемое явление, служит существенное превышение корневого фактора некоторой средней величины - , свидетельствующее о том, что данный элемент оборудования несет потенциальную опасность и нуждается в более пристальном наблюдении и тщательном анализе.

4.4. Свойства модели

Ингерентность – согласованность модели с общей культурой, образовательной и профессиональной средой, в которой проводятся исследования. Когерентность (несогласованность) - модели может проявляться в элементарной необеспеченности ресурсами - отсутствии необходимого количества экспертов по данной проблеме, слишком высокой трудоемкости экспертного анализа, недостатке средств для проведения исследования. Еще один аспект несогласованности модели связан с приближенностью, качественным характером человеческого мышления. Эксперт с большей охотой откликается на просьбу ответить на просьбу сравнить объекты (лучше-хуже, больше-меньше) или отвечает на вопрос о том, какова анроятность наступления события (низкая, средняя, высокая), чем дает численную оценку этой же вероятности, пусть даже с точностью 15-20%. Полнота – наличие в модели всех наиболее существенных факторов, позволяющих однозначно идентифицировать состояние анализируемой системы и исследуемой проблемы.

Неполнота модели проявляется в конце анализа, когда обнаруживается, что полученные результаты не отражают всей сути исследуемой проблемы и существуют какие-то дополнительные важные факторы, не принятые во внимание аналитиком. Проблема неполноты является следствием упрощенности и конечности модели. Очевидно, что конечная модель не может отразить бесконечное многообразие свойств реального объекта. Исследователь выбирает лишь те из них, которые кажутся ему наиболее важными, не имею при этом объективного критерия их важности и не всегда зная причинно-следственные связи между ними. Это может привести к тому, что в модель будукт заложены следствия, а не причины.

Абстрактность - степень обобщенности и отвлеченности модели и составляющих ее элементов.

Абстракция является важнейшим инструментом структурирования предметной области и построения модели. Оба вида абстракции – обобщение (типизация объектов по общему признаку подобия) и агрегация (конструирование одного объекта из других) – применяются при построении иерархии факторов.

Корень этой иерархии отражает наиболее абстрактное и обобщенное понятие или свойство исследуемого объекта (например, качество медицинских услуг, «критичность оборудования»). Это свойство рассматривается как интегральное, объединяющее массу самых разнообразных проявлений. Чтобы раскрыть смысл, заложенный в корневой фактор, строится иерархия, каждый уровень которой отражает содержание последовательных этапов абстрагирования, пройденных исследователем при построении модели.

Абстрактность модели – понятие не однозначное. С одной стороны использование абстрактных понятий помогает избавиться от деталей и проанализировать проблему в целом, не отвлекаясь на частности.

С другой стороны, высокоабстрактные понятия чреваты их неоднозначным восприятием или неприятием со стороны эксперта. Чем выше степень абстракции, тем выше вероятность, что серьезнее опасения, что оценки будут слишком субъективными и слабо обоснованными.

Иерархическая детализация абстрактных понятий позволяет «приземлить» экспертизу и опуститься до элементарного прагматического уровня, однако это может привести к чрезмерному усложнению модели.

Целостность - С различных точек зрения целостность трактуется по-разному:

С общих позиций целостность проявляется во взаимосвязанности, единстве и взаимной непротиворечивости элементов.

С точки зрения теории систем целостность – это способность системы к проявлению новых интегративных качеств, несвойственных образующим ее компонентам.

В моделировании данных под целостностью понимается внутренняя защищенность модели, ее способность противостоять некорректному использованию, неадекватному восприятию или интерпретации ее элементов.

Адекватность – соответствие модели поставленной цели. Адекватность означает, что истинность модели, ее соответствие оригиналу достигнуты не вообще, а лишь в той мере, которая достаточна для успешного достижения поставленной цели.

Управление качеством модели

Основные методы управления базовыми свойствами эвристической модели, влияющими на ее качество:

1. Построение иерархии факторов, позволяющее снизить абстрактность модели, повышая при этом ее достоверность и целостность, но вместе с тем увеличивая ее сложность.

2. введение априорно коррелирующих (избыточных) факторов, позволяющих устранить основные противоречия в модели и обеспечить ее адекватное восприятие за счет некоторого увеличения избыточности.

3. Анализ ортогональных (некоррелирующих) факторов, позволяющих обраружить неполноту модели, ведущую к снижению ее прагматичности.

Учитывая, что по замыслу аналитика и постановщика экспертизы, факторы являются ортогональными, можно сделать вывод, что эксперты также достаточно четко («контрастно») различают их и способны давать независимые оценки технологических задач по каждому отдельному фактору, т.е. оценки тоже должны бать ортогональными. Если оценки экспертов окажутся неортогональными, значит эксперты руководствовались каким-то другим, не учтенным в модели фактором. Несравненно более высокая мощность (вес) этого фактора оказала подавляющее влияние на все остальные факторы, в результате чего получились «зашумленные» оценки.

5. Постановка экспертного опроса

Постановка экспертизы включает:

Идентификацию объектов экспертизы, подлежащих оцениванию. Под этим понимают оценивание интенсивности проявления факторов-листьев для каждого из оцениваемых объектов и оценивание относительной важности факторов, т.е. определение весовых коэффициентов.

Выбор критерия оценки и формулировка вопроса. По форме различают следующие вопросы:

открытые вопросы (ответ не регламентирован и дается в любой форме) и закрытые (эксперт выбирает один из вариантов ответа); прямые и косвенные (маскирующие цель исследования).

Источником правил формирования вопроса является механизм распознавания и запоминания информации человеком, исследуемый когнитивной психологией. Проектирование шкал относится к одному из разделов теории измерения. Измерение – это алгоритмическая операция, которая данному объекту (процессу, явлению, состоянию) ставит в соответствие определенное обозначение (число, номер, символ).

Измеримость - определение числовой системы, в которую гомоморфно отображается измеряемая система. Если такая шкала существует, то система измерима.

Единственность – определение множества шкал, в которые может быть гомоморфно отображена измеряемая система. Указанное множество характеризуется видом преобразования, переводящее одну шкалу множества в другую. Шкалы бывают качественные (номинальная, нечеткая, порядковая, гиперпорядка) и количественные (интервальная, разностей, отношений, абсолютная)

13. Регрессионные модели. Особенности применения регрессионных моделей.

Термину регрессионная модель, используемому в регрессионном анализе, можно сопоставить синонимы: «теория», «гипотеза». Эти термины пришли из статистики, в частности из раздела «проверка статистических гипотез». Регрессионная модель есть прежде всего гипотеза, которая должна быть подвергнута статистической проверке, после чего она принимается или отвергается.

Регрессионная модель   — это параметрическое семейство функций, задающее отображение

где   — пространтсво параметров,   — пространство свободных переменных,   — пространство зависимых переменных.

Так как регрессионный анализ предполагает поиск зависимости матожидания случайной величины от свободных переменных  , то в её состав входит аддитивная случайная величина  :

Предположение о характере распределения случайной величины   называются гипотезой порождения данных. Эта гипотеза играет центральную роль в выборе критерия оценки качества модели и, как следствие, в способе настройки параметров модели.

Модель является настроенной (обученной) когда зафиксированы её параметры, то есть модель задаёт отображение

для фиксированного значения  .

Различают математическую модель и регрессионную модель. Математическая модель предполагает участие аналитика в конструировании функции, которая описывает некоторую известную закономерность. Математическая модель является интерпретируемой — объясняемой в рамках исследуемой закономерности. При построении математической модели сначала создаётся параметрическое семейство функций, затем с помощью измеряемых данных выполняется идентификация модели — нахождение её параметров. Известная функциональная зависимость объясняющей переменной и переменной отклика — основное отличие математического моделирования от регрессионного анализа. Недостаток математического моделирования состоит в том, что измеряемые данные используются для верификации, но не для построения модели, вследствие чего можно получить неадекватную модель. Также затруднительно получить модель сложного явления, в котором взаимосвязано большое число различных факторов.

Регрессионная модель объединяет широкий класс универсальных функций, которые описывают некоторую закономерность. При этом для построения модели в основном используются измеряемые данные, а не знание свойств исследуемой закономерности. Такая модель часто неинтерпретируема, но более точна. Это объясняется либо большим числом моделей-претендентов, которые используются для построения оптимальной модели, либо большой сложностью модели. Нахождение параметров регрессионной модели называется обучением модели.

Недостатки регрессионного анализа: модели, имеющие слишком малую сложность, могут оказаться неточными, а модели, имеющие избыточную сложность, могут оказатьсяпереобученными.

Примеры регрессионных моделей: линейные функции, алгебраические полиномы, ряды Чебышёва, нейронные сети без обратной связи, например, однослойный персептрон Розенблатта, радиальные базисные функции и прочее.

И регрессионная, и математическая модель, как правило, задают непрерывное отображение. Требование непрерывности обусловлено классом решаемых задач: чаще всего это описание физических, химических и других явлений, где требование непрерывности выставляется естественным образом. Иногда на отображение   накладываться ограничения монотонности, гладкости, измеримости, и некоторые другие. Теоретически, никто не запрещает работать с функциями произвольного вида, и допускать в моделях существование не только точек разрыва, но и задавать конечное, неупорядоченное множество значений свободной переменной, то есть, превращать задачи регрессии в задачи классификации.

14. Структура и классификация систем массового обслуживания.

СМО представляют собой системы специфического вида. Вообще СИСТЕМА – целостное множество взаимосвязанных элементов, неделимое на независимое подмножество.

Основа СМО - средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, операторы, би­летные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Классификация смо и их

основные элементы

СМО классифицируются на разные группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, и от дис­циплины обслуживания требований.

По числу каналов n СМО бывают одноканальные (с одним обслуживающим уст­ройством) и многоканальными (с большим числом обслуживающих устройств). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности.

По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

1) с неограниченным временем ожидания (очередь). При занятости системы заявка поступает в очередь и в итоге будет выполнена (торговля, сфера бытового и медицинского обслуживания);

2) с отказами (нулевое ожидание или явные потери). «Отказанная» заявка вновь поступает в систему, чтобы её обслужили (вызов абонента через АТС);

3) смешанного типа (ограниченное ожидание). Есть ограничение на длину очереди (автосервис). Ограничение на время пребывания заявки в СМО (особые условия обслуживания в КБ).

В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в оче­редь.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Эффективность функционирования СМО определяется её пропускной способностью – относительным числом обслуженных заявок.

15. Теория игр. Конфликт. Конфликтная ситуация. Стратегия. Игры с предпочтением. Чистые и смешанные стратегии. Матричные игры. Позиционные игры.

Тео́рия игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках

Теория игр является частью теории принятия решений. В теории принятия решений у лица принимающего решения (сокращенно ЛПР) имеется ряд альтернатив, и его целью является выбор наилучшей альтернативы, принятие оптимального решения. Значительная часть задач принятия решений для отыскания оптимального решения допускает применение математических методов. Различают задачу оптимизации – принятие оптимального решения одним ЛПР в бесконфликтной ситуации, и задачу теории игр, занимающуюся отысканием оптимальных решений для нескольких ЛПР, называемых в данном случае игроками, в рамках их конфликтного взаимодействия, обусловленного несовпадением их интересов.

Ситуации конфликтного взаимодействия часто возникают в экономической, политической, биологической и др. обстановке. Нас будут интересовать в основном экономические ситуации. Стандартный пример - изучение олигополии, но имеется и множество других - торги и аукционы, международная торговля и т.п. Поэтому теория игр стала составной частью курсов микроэкономики, отчасти ее языком. Обучение этому языку - задача минимум данного курса.

Теория игр условно делится на некооперативную и кооперативную части. В первой субъектом принятия решений служит индивид, во второй – коалиция игроков. В первой индивид характеризуется стратегиями и предпочтениями, во второй исходным материалом служат возможности коалиций. В первой индивиды принимают решения независимо (что не исключает переговоров между ними), во второй допускается возможность обязывающих соглашений.

Анализ конфликтной ситуации начинается с построения формальной модели, т.е. превращения ее в игру. Есть несколько разных способов представления игры. Наиболее важные - развернутая (экстенсивная, или позиционная) и стратегическая (нормальная) формы. Начнем с более простой - нормальной формы.