2. Математическое описание вибраторных антенных решеток

Для проектирования антенных решеток и оптимизации их характеристик необходимо наличие точной и высокоэффективной в вычислительном отношении математической модели, поскольку многоэлементные ВК имеют большое число степеней свободы (длины вибраторов, расстояние между ними). Математическое описание можно свести к системе связанных интегральных уравнений относительно неизвестных функций распределения тока в каждом элементе.

2.1. Система связанных интегральных уравнений для многоэлементной антенной решетки вк

Математическое модель ВК сводится к системе связанных интегральных уравнений такого порядка, сколько в ней элементов, например для пятиэлементной антенны, представленной на рис. 6. искомыми являются пять функций распределения токов в рефлекторе, активном элементе и трех директорах.

Рис. 6. Геометрия 5-элементной решетки «волновой канал».

Основываясь на тех же допущениях, что и при выводе уравнения Поклингтона одиночного вибратора (т.е. наличие сильного скин-эффекта, приближение тонкого провода) [1] можно сформулировать систему уравнений относительно неизвестных токов на каждом элементе ВК:

, (1)

где - стороннее электрическое поле (продольная компонента), создаваемое внешним источниками ЭМ поля, - ток протекающий по оси m-го элемента.

Ядра системы определяются на основе соотношений:

,

(2)

здесь - - расстояние между текущей точкой наблюдения на оси i-го и точкой на поверхности i-го вибратора, - расстояние между точкой интегрирования на оси i-го вибратора и точкой наблюдения на поверхности j-го вибратора.

В случае одного активного элемента левые части системы уравнений (4) выглядят т.о. :

Значения стороннего электрического поля во всех строчках системы кроме второй равняются нулю, что объясняется наличием возбуждающего источника лишь у второго элемента.

Физический смысл системы интегральных уравнений (1) заключается в том, что каждая строчка – это запись граничного условия для касательной компоненты электрического поля на поверхности каждого вибратора. Каждый интеграл в правой части любой строки системы (1) - это вклад в поле на поверхности одного из вибраторов от каждого из элементов антенной решетки, таким образом, общее число интегралов в системе равно квадрату числа элементов решетки.

Полученная система (1) описывает в самосогласованной постановке систему из N вибраторов с учетом взаимного влияния их друг на друга. В частном случае, при отсутствии взаимной связи (например, в случае значительного междуэлементного расстояния, т.е. при ), ядра системы (1) стремятся к нулю. Легко убедиться, что в этом случае система распадается на N независимых систем относительно тока в каждом уединенном вибраторе (т.е. на N независимых уравнений Поклингтона).

2.2. Решение системы связанных иу

Система (1) является обобщением уравнения Поклингтона для одиночного элемента, и решается в пять этапов:

1 Этап. Выбираем систему базисных функций по которым раскладывается предполагаемое решение на первом, втором и N-ом вибраторах:

(3)

Здесь возможна ситуация, в которой число базисных функций на каждом вибраторе неодинаково: , а их вид на разных вибраторах разный.

2 Этап. Подставляем разложение (3) в исходную систему интегральных уравнений (1) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получаем:

(4)

3 Этап. Формируем систему линейных алгебраических уравнений на основе метода Галеркина. На этом этапе конкретизируем и упростим ситуацию, будем считать, что ток на каждом вибраторе описывается тремя базисными функциями. Далее, последовательно умножая правую и левую части уравнений системы (4) на проекционные функции , получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) M=3N порядка относительно неизвестных базисных коэффициентов на каждом вибраторе:

(5)

Эту систему можно переписать в более наглядном виде, введя сквозную нумерацию базисных функций и токов:

(6) или в матричном виде - [U]=[Z][I]

Здесь - амплитуды напряжения, выражаемые через интегралы от напряженности стороннего электрического поля: , причем вектор–столбец левых частей для ВК выглядит т.о.:

где - - напряжение дельта-источника, включенного в центре активного элемента (центральный сегмент активного элемента имеет 5-ый порядковый номер), остальные элементы вектора равны нулю; элементы матрицы [Z] - обобщенных взаимных импедансов ; [I]- вектор неизвестных базисных коэффициентов.

4 Этап. Решаем систему уравнений (6) любым известным способом, например по Гауссу. В результате решения будут найдены базисные коэффициенты токов.

5 Этап. По найденным коэффициентам на основе (3) восстанавливается ток в каждом вибраторе, затем находится входное сопротивление активного вибратора и ДН всей системы.

Результаты решения системы и вычисления ДН 5-элементной ВК (рис.6) представлены на рис. 7, 8

Рис. 7. Трехмерная диаграмма направленности 5-элементной ВК.

Рис. 8. Сечение диаграммы направленности 5-эл. антенны ВК.

Рассмотренный выше частный пример электродинамического анализа проволочных антенн можно легко алгоритмизировать в доступных математических пакетах. Гораздо более удобной является реализация электродинамической модели в универсальных пакетах, специально разработанных для расчета характеристик проволочных структур достаточно общего вида. К таким пакетам относятся, прежде всего пакеты серии NEC, и их многочисленные вариации (winNEC, miniNEC, SuperNEC, MМANA).