
Чернова Н.М.
Лекция 12. Производная функции
§ 1. Понятие производной
Определение.
Если
отношение
имеет предел при
этот предел называют производной
функции
при заданном значении
и
записывают
. (1)
Замечание.
Если
при некотором значении
,
существует производная функции
при этом значении, то в этой точке функция
непрерывна.
Заметим,
что отношение
из рис. 1 численно равно
.
Определение.
Производная
функции
в точке
численно равна тангенсу угла, который
составляет касательная к графику этой
функции построенной в точке
с положительным направлением с осью
.
Из
последнего определения становится
ясно, почему в случае убывающей
функции (рис. 2) производная
отрицательна. Это объясняется
тем, что
,
если
будет
отрицательным.
На этом свойстве производной основано исследование поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке.
§ 2. Производные простейших функций
Используя определение производной и правил вычисления пределов, найдем производные простейших функций.
1.
,
где
–
некоторая постоянная. По определению
производной из (1) получаем удобную
формулу
,
(2)
тогда
из (2) имеем
,
т.е.
.
Производная
постоянной величины равна 0.
2.
,
где
–
любое число. Из формулы (2) имеем
Т.е.
.
3.
.
Т.е.
.
Остальные производные простейших функций (табл.1) приведем без вывода
Таблица 1
Производные простейших функций
Функция |
Производная |
Функция |
Производная |
С |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. Основные правила дифференцирования
Пусть
заданы две функции
и
,
которые имеют производные в
точке
.
1.
Производная
алгебраической суммы
равна алгебраической сумме производных.
.
Покажем
это. Пусть некоторая функция у,
равная
имеет приращение
.
Тогда функции
и
тоже должны получить приращения
и
, соответственно. Новое значение
будет
,
а для
–
,
следовательно,
Найдем
по определению (2) производной
.
2.
Производная
произведения
равна
.
Покажем справедливость этого
равенства.
Если,
как в первом случае, дать
приращение
,
то функции u
и v
также
получат приращение, следовательно, и
функция
тоже изменится. Найдем
.
.
По определению производной
Если
необходимо вычислить производную
нескольких сомножителей, например,
,
если все три функции имеют производные
в точке
,
используя правило вычисления производной
для двух сомножителей, получим
3.
Производная
частного.
Рассмотрим функцию
,
причем, кроме существования
производных в точке
для функций
и
необходимо положить, что
в точке
отлична от нуля.
Найдем
.
и тогда из определения производной имеем
.
Пример.
Показать, что
.
Решение. Используя производную частного
4.
Производная
сложной функции.
Пусть дана
,
где
.
Тогда имеет место теорема, которую
приведем здесь без доказательства.
Теорема.
Если
функция
имеет в точке
производную
и функция
имеет в точке
производную
,
тогда сложная функция
имеет в точке
производную, равную
(3)
Пример.
Найти производную функции
.
Решение.
.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение.
Пример.
Найти производную сложной функции
.
Решение.
5.
Логарифмическое
дифференцирование.
Пусть дана функция
.
При этом предполагается, что функция
не обращается в нуль в точке
.
Покажем один из способов нахождения
производной функции
,
если
очень сложная функция и по обычным
правилам дифференцирования
найти производную затруднительно.
Так
как по первоначальному предположению
не равна нулю в точке, где ищется ее
производная, то найдем новую функцию
и вычислим ее производную
.
(4)
Отношение
называется логарифмической производной
функции
.
Из формулы (4) получаем
.
(5)
Формула
(5) дает простой способ нахождения
производной функции
.
Пример.
Найти производную сложной функции
Решение.
Для нахождения
используем формулу (5). Предварительно
прологарифмируем функцию
и найдем производную полученной функции
.
Теперь по формуле (5) получаем
.
Пример.
Найти производную сложной функции
.
Решение. В связи с тем, что указанная функция сложная, воспользуемся логарифмическим дифференцированием, для чего предварительно прологарифмируем нашу функцию
.
Найдем производную полученной функции по формуле (5).
.
6. Производная обратной функции.
Теорема.
Если
имеет в точке
производную, отличную от нуля, тогда в
этой точке обратная функция
также имеет производную и имеет место
соотношение
.
(6)
Пользуясь этой теоремой, найдем производные обратных тригонометрических функций.
1.
на интервале
.
,
тогда
,
откуда
следовательно,
.
2.
.
.
,
откуда
3.
.
;
,
откуда
4.
;
;
5.
,
где
и
являются
функциями от
.
Для нахождения
применим формулу (5). Для этого предварительно
найдем функцию
и ее производную
.
По
формуле (5) получаем
.
Эту
же формулу можно получить иначе.
Представим
в виде
и найдем производную этой функции
.
В заключение этой лекции приведем таблицу основных формул дифференцирования (табл.2).
Таблица 2.
Основные формулы дифференцирования
№ п/п |
Функция |
Производная |
№ п/п |
Функция |
Производная |
1. |
C – const |
|
11. |
|
|
2. |
|
|
12. |
|
|
3. |
|
|
13. |
|
|
4. |
|
|
14. |
|
|
5. |
|
|
15. |
|
|
6. |
|
|
16. |
|
|
7. |
|
|
17. |
|
|
8. |
|
|
18. |
|
|
9. |
|
|
19. |
|
|
10 |
|
|
|
|
|