39. Основы дискретной математики. Элементы теории множеств. Комбинаторика.

• Множества. Мощность множества. Операции над множествами. Прямое произведение множеств.

• Подмножества. Мультимножества.

• Бинарные отношения. Отношение эквивалентности.

• Выборки с повторением и без повторения.

• Размещения и сочетания. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

• Мультиномиальные коэффициенты.

• Числа Стирлинга и их свойства.

• Разложение и разбиение натуральных чисел. Формулы для числа разложений и числа разбиений.

• Перестановки множеств. Произведение перестановок. Циклы перестановок. Разложение перестановки на циклы. Число перестановок заданного типа.

• Принцип включения-исключения. Задача о беспорядках. Мощность объединения множеств.

Математическая логика.

• Алгебра логики. Функции алгебры логики. Элементарные функции. Формулы. Эквивалентность формул.

• Разложение функций алгебры-логики по переменным.

• Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы. Существование и единственность представления функции алгебры логики в СДНФ и СКНФ.

• Полином Жегалкина.

• Принцип двойственности. Замкнутые классы функций. Несамодвойственные функции. Немонотонные функции. Нелинейные функции.

• Необходимые и достаточные условия полноты системы функций алгебры логики.

• Исчисления высказываний. Аксиомы и правила вывода исчисления высказываний.

• Полнота исчисления высказываний. Независимость аксиом исчисления высказываний.

• Исчисление предикатов. Примеры описания утверждений на языке исчисления предикатов.

Теория алгоритмов.

• Определения алгоритма. Машины Тьюринга. Вычислимые функции. Существование невычислимой функции. Максимальная продуктивность машины Тьюринга с n состояниями.

• Сложность алгоритма. Полиномиально разрешимые задачи. Полиномиальная сводимость.

• Классы P и NP. NP-полные и NP-трудные задачи. NP-полнота задачи 3 ВЫПОЛНИМОСТЬ.

Теория графов.

• Различные виды и определения графов. Мультиграфы и псевдографы. Ориентированные и неориентированные графы.

• Простейшие свойства графов. Матрицы смежности и инциденции. Степени вершин графов. Теорема о степенях.

• Подграфы, суграфы и остовные графы. Операции над графами. Полные и пустые графы. Дополнение графа.

• Маршруты и пути в графе. Связность. Компоненты связности. Сильная связность ориентированных графов.

• Изоморфизм графов. Инварианты графов.

• Эйлеровы и Гамильтоновы графы.

• Раскраски графа. Хроматическое число.

• Примеры NP-полных задач на графах: размер максимальной клики, изоморфизм подграфу, хроматическое число.

Алгоритмы.

• Алгоритм поиска минимального остовного дерева графа.

• Задача коммивояжера. Приближенные алгоритмы решения.

• Алгоритмы поиска кратчайших путей в графе.

• Поиск в глубину и поиск в ширину в графе.

• Двудольные графы. Построение наибольшего паросочетания.

• Алгоритм древесной сортировки. Алгоритм быстрой сортировки.

• Структуры данных и операции с ними. Массивы. Стеки. Очереди. Списки. Хэши. Деревья.