11 Классификация моделей

Математическое описание процессов, происходящих в системах управления, является лишь некоторым приближением к действительности, поскольку замещает реальную систему ее математической моделью. Для описания поведения системы в любой момент времени удобно использовать единую математическую характеристику - переменную состояния. Для системы первого порядка

X(t)=f[Х(t), U(t), t]; Y(t)=

=g[X(t), U(t), t], (1.7)

где t - время; Х(t), У(t) - входные и выходные переменные; U (t) - переменные состояния.

Математические модели с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными или разностными уравнениями, а ММ с распределенными параметрами - дифференциальными уравнениями в частных производных или разностными схемами [63]. Математические модели по входу-выходу описывают отображение входных воздействий в выходные и могут быть в общем виде представлены уравнениями

у = Н(х,р), (1.8 )

где х и у - векторы соответственно входных и выходных воздействий; Н - оператор модели (имеет различную математическую природу, в частности это может быть оператор свертки, либо статическая характеристика); р - вектор параметров модели.

Математические модели в пространстве состояний описывают не только отображение входного воздействия в выходное, но и в определенном смысле внутреннюю структуру объекта [63]:

U=F(u,х,р); U(0)=U₀; у=G(u,х,р), (1.9)

где F - вектор-функция, определяющая изменения во времени переменных состояния; G – вектор - функция, определяющая зависимость выхода от переменных состояния и входных воздействий.

Линейные и нелинейные модели задаются соответственно линейными и нелинейными уравнениями.

Модель одномерная, если векторы входа и выхода одномерны (модель один вход - один выход). Модель многомерная, если количество выходов или входов больше одного.

Односвязные ММ содержат один оператор Н или одну пару функций F и G, связывающих входные воздействия с выходными. Многосвязные ММ содержат несколько операторов Н или несколько пар функций F и G [63]

Аналитические модели дают описание процессов, происходящих в системе, в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, дифференциальных, интегродифференциальных, конечно-разностных и др.) либо логических условий. Аналитические модели могут исследоваться одним из следующих способов: аналитически, численно и качественно. Аналитический способ является наиболее полным и исчерпывающим и позволяет в ряде случаев получить в общем виде явные зависимости для искомых величин, что наиболее удобно для анализа. Как правило, аналитическое исследование возможно лишь при существенном упрощении модели, что дает возможность изучить лишь некоторые свойства системы. Численный способ не дает решений в общем виде, но позволяет получить числовые результаты при конкретных начальных данных. Численные исследования более универсальны, чем аналитические, однако получаемые при этом решения

Рис. 1 Классификация математических моделей систем управления

носят частный характер. Качественный способ, не давая решений в явном виде, позволяет найти некоторые существенные свойства решения, например оценить устойчивость и т. п.

Численные модели дают описание процессов, происходящих в системе, в виде конкретных количественных связей для выбранных значений аргумента.

Имитационные модели системы управления реализуются на ЭВМ. Вместо аналитической модели процесса используется алгоритмическое описание процесса ее функционирования. Моделирующий алгоритм приближенно воспроизводит процесс - оригинал в части его функционирования во времени. При этом имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.