3.2. Математика
Перші математичні відкриття Ньютон зробив ще в студентські роки: класифікація алгебраїчних кривих 3-го порядку (криві 2-го порядку досліджував Ферма) і биномиальное розкладання довільній (не обов'язково цілою) ступеня, з якого починається ньютонівська теорія нескінченних рядів - нового і потужного інструменту аналізу. Розклад в ряд Ньютон вважав основним і загальним методом аналізу функцій, і в цій справі досяг вершин майстерності. Він використовував ряди для обчислення таблиць, рішення рівнянь (в тому числі диференціальних), дослідження поведінки функцій. Ньютон зумів отримати розкладання для всіх стандартних на той момент функцій. [24]
Ньютон розробив диференціальне й інтегральне числення одночасно з Г. Лейбніцем (трохи раніше) і незалежно від нього. До Ньютона дії з нескінченно малими не були пов'язані в єдину теорію і носили характер розрізнених дотепних прийомів (див. Метод неподільних). Створення системного математичного аналізу зводить вирішення відповідних завдань, значною мірою, до технічного рівня. З'явився комплекс понять, операцій і символів, що став відправною базою подальшого розвитку математики. Наступний, XVIII століття, стало століттям бурхливого і надзвичайно успішного розвитку аналітичних методів.
Можливо, Ньютон прийшов до ідеї аналізу через різницеві методи, якими багато і глибоко займався. Правда, у своїх "Засадах" Ньютон майже не використовував нескінченно малих, дотримуючись античних (геометричних) прийомів докази, але в інших працях застосовував їх вільно. [85]
Відправною точкою для диференціального й інтегрального числення були роботи Кавальєрі і особливо Ферма, який вже вмів (для алгебраїчних кривих) проводити дотичні, знаходити екстремуми, точки перегину і кривизну кривої, обчислювати площа її сегмента. З інших попередників сам Ньютон називав Валліса, Барроу і шотландського вченого Джеймса Грегорі. Поняття функції ще не було, всі криві він трактував кінематично як траєкторії рухомої точки. [86]
Вже будучи студентом, Ньютон зрозумів, що диференціювання та інтегрування - взаємно зворотні операції. [24] Ця основна теорема аналізу вже більш-менш ясно вимальовувалася в роботах Торрічеллі, Грегорі і Барроу, однак лише Ньютон зрозумів, що на цій основі можна отримати не тільки окремі відкриття, але потужне системне обчислення, подібне алгебрі, з чіткими правилами і гігантськими можливостями.
Ньютон майже 30 років не піклувався про публікацію свого варіанту аналізу, хоча в листах (зокрема, до Лейбніца) охоче ділиться багатьом з досягнутого. Тим часом варіант Лейбніца широко і відкрито поширюється по Європі з 1676. Лише в 1693 з'являється перший виклад варіанту Ньютона - у вигляді додатку до "Трактату з алгебри" Валліса. [38] Доводиться визнати, що термінологія і символіка Ньютона в порівнянні з лейбніцевской досить незграбні: флюксія ( похідна), флюента ( первообразная), момент величини ( диференціал) і т. п. Збереглися в математиці тільки ньютонівської позначення "o" для нескінченно малою dt (втім, цю букву в тому ж сенсі використовував раніше Грегорі), та ще крапка над буквою як символ похідної за часом. [87]
Досить повний виклад принципів аналізу Ньютон опублікував лише в роботі "Про квадратуру кривих" ( 1704), яка додається до його монографії "Оптика". Майже весь викладений матеріал був готовий ще в 1670-1680-і роки, але лише тепер Грегорі і Галлей умовили Ньютона видати роботу, яка, з запізненням на 40 років, стала першим друкованим працею Ньютона з аналізу. Тут у Ньютона з'являються похідні вищих порядків, знайдені значення інтегралів різноманітних раціональних і ірраціональних функцій, наведено приклади розв'язання диференціальних рівнянь 1-го порядку.
" Універсальна арифметика "Ньютона, латинське видання (1707)
В 1707 вийшла книга " Універсальна арифметика ". У ній наведено різноманітні чисельні методи. Ньютон завжди приділяв велику увагу наближеному рішенням рівнянь. Знаменитий метод Ньютона дозволяв знаходити корені рівнянь з немислимою раніше швидкістю і точністю (опублікований в "Алгебрі" Валліса, 1685). Сучасний вигляд ітераційного методу Ньютона надав Джозеф Рафсона ( 1690).
В 1711 нарешті був надрукований, через 40 років, "Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченним числом членів". У цій праці Ньютон з однаковою легкістю досліджує як алгебраїчні, так і "механічні" криві ( циклоиду, квадратріси). З'являються приватні похідні. У цьому ж році виходить "Метод різниць", де Ньютон запропонував інтерполяційну формулу для проведення через (n + 1) дані крапки з рівновіддаленими чи нерівновіддаленими абсцисами многочлена n-го порядку. Це різницевий аналог формули Тейлора.
В 1736 був посмертно видано підсумковий праця "Метод флюксій і нескінченних рядів, істотно просунутий порівняно з "Аналізом за допомогою рівнянь". У ньому наводяться численні приклади відшукання екстремумів, дотичних і нормалей, обчислення радіусів і центрів кривизни в декартових і полярних координатах, відшукання точок перегину і т. п. У цьому ж творі вироблені квадратури і випрямлення різноманітних кривих. [88]
Треба зазначити, що Ньютон не тільки досить повно розробив аналіз, але і зробив спробу строго обгрунтувати його принципи. Якщо Лейбніц схилявся до ідеї актуальних нескінченно малих, то Ньютон запропонував (в "Засадах") загальну теорію граничних переходів, яку кілька витіювато назвав "метод перших і останніх відносин". Використовується саме сучасний термін "межа" ( лат. limes ), Хоча виразне опис сутності цього терміну відсутня, маючи на увазі інтуїтивне розуміння. Теорія меж викладена в 11 лемах книги I Начал, одна лема є також у книзі II. Арифметика меж відсутній, немає докази єдиності межі, не виявлено його зв'язок з нескінченно малими. Проте Ньютон справедливо вказує на велику строгість такого підходу в порівнянні з "грубим" методом неподільних. Проте в книзі II, ввівши "моменти" ( диференціали), Ньютон знову заплутує справу, фактично розглядаючи їх як актуальні нескінченно малі. [89]
Примітно, що теорією чисел Ньютон зовсім не цікавився. По всій видимості, фізика йому була набагато ближче математики. [90]