5. Формула полной вероятности. Формула бейеса

Следствием теорем сложения и умножения является формула полной вероятности.

Допустим, что предполагается провести опыт, об условиях которого можно сделать исключающих друг друга предположений (гипотез) , причем .

Вероятность некоторого события , которое может появиться только вместе с одной из гипотез, вычисляется по формуле

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Если же событие совершилось и необходимо найти вероятность того, что оно произошло совместно с некоторой гипотезой , то необходимо воспользоваться формулой Бейеса

ПРИМЕР 5.1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой 2 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 1 черный шар, в третьей – 3 белых шара. Наугад выбирается одна из урн и из нее вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Опыт предполагает 3 гипотезы:

выбор первой урны; ;

выбор второй урны; ;

выбор третьей урны; .

Рассмотрим интересующее нас событие.

вынутый шар белый. Данное событие может произойти только с одной из гипотез .

Тогда .

ПРИМЕР 5.2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Можно сделать два предположения (гипотезы): деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) ; деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом , если произведена вторым автоматом .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

.

ПРИМЕР 5.3. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку (исход «обе пробоины совпали» отбрасываем, как ничтожно маловероятный).

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

ни первый, ни второй стрелки не попадут;

оба стрелка попадут;

первый стрелок попадет, а второй – нет;

первый стрелок не попадет, а второй попадает.

Доопытные (априорные) вероятности гипотез:

.

Условные вероятности осуществленного события в мишени одна пробоина, при этих гипотезах равны:

.

После опыта гипотезы и становятся невозможными, а послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез и по формуле Бейеса будут

; .